[论文解读] Chaos in de Broglie - Bohm quantum mechanics and the dynamics of quantum relaxation

Christos Efthymiopoulos, G. Contopoulos+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用 9

一句话总结

本文識別出節點點–X點複合結構為二維與三維系統中德布羅意-玻姆量子軌跡產生混沌的普遍機制，並證明混沌是量子平衡（即動力學趨近玻姆規則）所必需的。研究顯示，混沌軌跡可驅動高效的量子退火，而規則軌跡則因無法穿透效應而無法達成完全退火，並透過李亞普諾夫指數規律與熵動力學量化退火速率。

ABSTRACT

We discuss the main mechanisms generating chaotic behavior of the quantum trajectories in the de Broglie - Bohm picture of quantum mechanics, in systems of two and three degrees of freedom. In the 2D case, chaos is generated via multiple scatterings of the trajectories with one or more `nodal point - X-point complexes'. In the 3D case, these complexes form foliations along `nodal lines' accompanied by `X-lines'. We also identify cases of integrable or partially integrable quantum trajectories. The role of chaos is important in interpreting the dynamical origin of the `quantum relaxation' effect, i.e. the dynamical emergence of Born's rule for the quantum probabilities, which has been proposed as an extension of the Bohmian picture of quantum mechanics. In particular, the local scaling laws characterizing the chaotic scattering phenomena near X-points, or X-lines, are related to the global rate at which the quantum relaxation is observed to proceed. Also, the degree of chaos determines the rate at which nearly-coherent initial wavepacket states lose their spatial coherence in the course of time.

研究动机与目标

• 識別在具有兩個與三個自由度之量子系統中，玻姆軌跡產生混沌的動力學機制。
• 確立混沌對於量子平衡之動力學出現（即趨近玻姆規則）的必要性。
• 量化混沌程度與量子退火速率之間的關係，特別是透過李亞普諾夫指數規律與熵動力學。
• 將軌跡分類為規則、混沌或部分可積分，並分析其對退火過程的影響。
• 將節點點–X點複合結構框架由二維擴展至三維系統，識別出節點線與X線結構為三維混沌的來源。

提出的方法

• 透過波函數及其相關玻姆運動方程的展開，分析量子流在移動節點點附近的局部結構。
• 推導出將軌跡之局部李亞普諾夫指數與節點點–X點複合結構之尺寸與速度相關之規律。
• 使用數值模擬追蹤以相干波包初始化之玻姆軌跡集合，比較規則與混沌初始條件。
• 計算統計量之時間演化：Kullback–Leibler散度 $D(t)$ 與熵 $H(t)$，以量化量子退火速率。
• 在三維系統中應用不變二維曲面之概念，識別具有顯式運動積分之部分可積分情形。
• 採用亞量子H定理框架，將長期趨近量子平衡解釋為混沌混合之結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有兩個與三個自由度之系統中，何種動力學機制會產生玻姆軌跡之混沌？
• RQ2 軌跡之局部李亞普諾夫指數如何依賴於節點點–X點複合結構之運動學？
• RQ3 在孤立系統中，規則（非混沌）軌跡之存在在多大程度上會阻止完全量子退火？
• RQ4 量子退火速率能否與系統軌跡動力學之混沌程度建立定量關聯？
• RQ5 三維配置空間中的節點線與X線如何引發玻姆軌跡之混沌散射與全域混合？

主要发现

• 節點點–X點複合結構是二維量子系統中產生混沌之普遍機制，其軌跡表現出對初始條件之敏感依賴性與正的李亞普諾夫指數。
• 推導出將局部李亞普諾夫指數與節點點–X點複合結構之尺寸與速度相關之規律，使混沌散射行為得以定量預測。
• 在三維系統中，節點點形成連續之節點線，而X點則圍繞其組織成圓柱形結構，進而透過與X線之近距離遭遇實現混沌散射。
• 規則玻姆軌跡因避開節點點–X點複合結構，維持空間相干性，且不表現量子退火，如 $D(t)$ 與 $H(t)$ 保持遠離零之有界值所示。
• 混沌集合展現更快且更完全之量子退火，其中 $D(t) \simeq 12.3$ 與 $H_s \simeq 6.4$ 近似達到漸近值，但因規則區域無法穿透而永遠無法達到零。
• 部分可積分之三維系統具有由顯式運動積分定義之不變二維曲面，使所有軌跡受限於這些曲面，因而限制混沌混合。