[论文解读] Chaotic and Predictable Representations for Multidimensional Lévy Processes

Jianzhong Lin|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Probability and Risk Models参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过将补偿幂变差过程进行Gram-Schmidt正交化，构造了正交化的多维Teugels鞅，从而为多维Lévy过程建立了混沌表示性质。关键贡献在于，基于这些正交化鞅，建立了平方可积随机变量的混沌展开，由此可直接推出预测表示性质，该结果在Lévy测度满足矩条件和Laplace变换条件时，将单变量结果推广至多变量情形。

ABSTRACT

For a general Multidimensional Lévy process (satisfying some moment conditions), we introduce the Multidimensional power jump processes and the related Multidimensional Teugels martingales. Furthermore, we orthogonalize the Multidimensional Teugels martingales by applying Gram-Schmidt process. We give a chaotic representation for every square integral random variable in terms of these orthogonalized Multidimensional Teugels martingales. The predictable representation with respect to the same set of Multidimensional orthogonalized martingales of square integrable random variables and of square integrable martingales is an easy consequence of the chaotic representation.

研究动机与目标

• 将混沌表示性质（CRP）从单变量情形推广至多维Lévy过程。
• 基于多维Lévy过程的补偿幂变差过程，构造合适的鞅正交序列。
• 利用这些正交化鞅，建立平方可积随机变量的混沌表示。
• 作为混沌表示的直接推论，推导出预测表示性质。
• 通过多变Meixner过程等显式例子，说明该框架的适用性。

提出的方法

• 将多维幂变差过程定义为Lévy过程跳跃大小的$d$次幂的增量。
• 通过减去其预测补偿量，构造补偿幂变差过程，形成局部鞅。
• 对所得多维Teugels鞅应用Gram-Schmidt正交化过程。
• 利用多项式序列与补偿幂变差过程之间的等距关系，将正交化过程与多变量Meixner多项式联系起来。
• 通过将任意平方可积随机变量表示为关于正交化鞅的多重随机积分的正交和，建立混沌表示。
• 作为混沌表示的直接推论，推导出预测表示性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 混沌表示性质能否从单变量情形推广至多维Lévy过程？
• RQ2 如何从多维Lévy过程的补偿幂变差过程中构造鞅的正交序列？
• RQ3 正交化Teugels鞅与多变量正交多项式（如Meixner多项式）之间存在何种关系？
• RQ4 在何种Lévy测度条件下，多维情形下的混沌表示成立？
• RQ5 在多维设定下，预测表示性质如何由混沌表示直接导出？

主要发现

• 当Lévy测度在原点外具有有限Laplace变换时，多维Lévy过程的混沌表示性质成立。
• 正交化的多维Teugels鞅构成了平方可积随机变量混沌展开的完备正交基。
• 对于平方可积鞅和随机变量，其预测表示性质可直接由关于同一组正交化鞅的混沌表示推出。
• 通过Gram-Schmidt过程构造正交化鞅，确保了正交性，并实现了显式混沌展开。
• 对于多变Meixner过程，Teugels鞅的正交化通过与多项式空间的等距关系，对应于多变量Meixner多项式。
• 该框架提供了一套系统化方法，可将随机变量和鞅表示为关于正交化跳跃基鞅的多重随机积分。