[论文解读] Chaotic dynamics in a simple predator-prey model with discrete delay

Guihong Fan, Gail S. K. Wolkowicz|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文研究了一个带有离散时滞的简单捕食者-猎物模型，以探讨捕食者将猎物生物量转化为自身生物量的时间延迟如何引发复杂动力学。引入时滞会使系统通过霍普夫分支、周期倍化级联以及极限环的鞍结分支，从全局稳定性转变为混沌振荡，表明仅时滞本身即可在原本稳定的系统中引发混沌行为。

ABSTRACT

A discrete delay is included to model the time between the capture of the prey and its conversion to viable biomass in the simplest classical Gause type predator-prey model that has equilibrium dynamics without delay. As the delay increases from zero, the coexistence equilibrium undergoes a supercritical Hopf bifurcation, two saddle-node bifurcations of limit cycles, and a cascade of period doublings, eventu1ally leading to chaos. The resulting periodic orbits and the strange attractor resemble their counterparts for the Mackey-Glass equation. Due to the global stability of the system without delay, these complicated dynamics can be solely attributed to the introduction of the delay. Since many models include predator-prey like interactions as submodels, this study emphasizes the importance of understanding the implications of overlooking delay in such models on the reliability of the model-based predictions, especially since the temperature is known to have an effect on the length of certain delays.

研究动机与目标

• 研究在无时滞时全局稳定的捕食者-猎物模型中，捕食者-猎物相互作用中的离散时滞如何引发复杂、非平衡的动力学。
• 确定仅引入时滞是否可使具有霍林类型I功能性反应的简单高斯型捕食者-猎物系统产生混沌行为。
• 研究导致混沌的分岔结构，包括霍普夫分支、鞍结分支和周期倍化分支，并将结果与麦考伊-格拉斯方程进行比较。
• 强调在环境变化（如温度变化影响处理时间）背景下忽略时滞对生态模型的影响。
• 证明即使在最简化的模型中，时滞也会显著改变预测结果，导致剧烈振荡或灭绝，从而破坏模型的可靠性。

提出的方法

• 构建一个带有离散时滞 τ 的时滞微分方程系统，以模拟捕食者捕获猎物与生物量转化之间的延迟。
• 采用霍林类型I功能性反应 f(x) = mx，确保无时滞系统具有全局渐近稳定的平衡点。
• 应用中心流形与正规型理论分析临界时滞值处的霍普夫分支，识别周期解的出现。
• 采用数值延续与仿真方法追踪分岔分支，揭示极限环的鞍结分支与周期倍化级联。
• 进行数值分析以识别混沌吸引子，并将其结构与麦考伊-格拉斯吸引子进行比较。
• 利用一致持久性理论证明：当内部平衡点不稳定时，系统对所有 τ > 0 均保持一致持久。

实验结果

研究问题

• RQ1 在原本全局稳定的捕食者-猎物模型中引入离散时滞后，如何影响其长期动力学？
• RQ2 在延迟捕食者-猎物系统中，哪些分岔序列导致混沌行为的出现？
• RQ3 由于时滞的存在，系统是否可能同时表现出多个稳定的周期轨道和不稳定的周期轨道？
• RQ4 当环境扰动改变时滞（如温度变化影响处理时间）时，系统行为如何变化？
• RQ5 该模型中的混沌吸引子在多大程度上与麦考伊-格拉斯吸引子相似？这又对这类动力学的普适性意味着什么？

主要发现

• 引入离散时滞将原本全局稳定的系统转变为表现出复杂动力学的系统，包括在临界时滞值处出现的超临界霍普夫分支。
• 随着时滞增加，系统经历两次极限环的鞍结分支，导致两个稳定周期轨道与一个不稳定周期轨道共存。
• 观察到周期倍化级联，最终导致混沌动力学，随后在时滞进一步增加时出现周期减半的回归稳定路径。
• 混沌吸引子与麦考伊-格拉斯吸引子具有显著相似性，表明延迟诱导混沌具有共享的潜在动力学机制。
• 在霍普夫分支点或鞍结分支点附近（例如 τ ≈ 80），系统对随机扰动高度敏感，导致灭绝风险上升。
• 在混沌状态下，捕食者种群的最大值与最小值对时滞变化表现出意外的不敏感性，表明极端动力学具有鲁棒性。