[论文解读] Chaotic Dynamics of the Mass Deformed ABJM Model

K. Başkan, S. Kürkçüoğlu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2022

Quantum chaos and dynamical systems被引用 5

一句话总结

本文通过使用时间依赖的集体坐标系的模糊2-球面假设配置，将质量形变的ABJM模型约化为0+1维矩阵模型，研究其混沌动力学。推导了有效拉格朗日量并计算了李雅普诺夫指数，发现最大的李雅普诺夫指数满足 $\lambda_L \propto (E/N^2)^{1/3}$ 或 $\lambda_L \propto (E/N^2 - \gamma_N)^{1/3}$，临界温度 $T_c$ 以上满足 Maldacena-Shenker-Stanford 界 $\lambda_L \leq 2\pi T$，且随着 $N$ 或 Chern-Simons 耦合 $k$ 增大而减小。结果将经典混沌分析拓展至具有全息对偶前景的超对称矩阵模型。

ABSTRACT

We explore the chaotic dynamics of the mass-deformed Aharony-Bergman-Jafferis-Maldacena model. To do so, we first perform a dimensional reduction of this model from $2+1$ to $0+1$ dimensions, considering that the fields are spatially uniform. Working in the 't Hooft limit and tracing over ansatz configurations involving fuzzy 2-spheres, which are described in terms of the Gomis-Rodriguez-Gomez-Van Raamsdonk-Verlinde matrices with collective time dependence, we obtain a family of reduced effective Lagrangians and demonstrate that they have chaotic dynamics by computing the associated Lyapunov exponents. In particular, we focus on how the largest Lyapunov exponent, $λ_L$, changes as a function of $E/N^2$. Depending on the structure of the effective potentials, we find either $λ_L \propto (E/N^2)^{1/3}$ or $λ_L \propto (E/N^2 - γ_N)^{1/3}$, where $γ_N(k, μ)$ are constants determined in terms of the Chern-Simons coupling $k$, the mass $μ$, and the matrix level $N$. Noting that the classical dynamics approximates the quantum theory only in the high-temperature regime, we investigate the temperature dependence of the largest Lyapunov exponents and give upper bounds on the temperature above which $λ_L$ values comply with the Maldacena-Shenker-Stanford bound, $ λ_L \leq 2 πT $, and below which it will eventually be not obeyed.

研究动机与目标

• 研究质量形变ABJM模型中的混沌动力学，该模型为 $2+1$ 维 $χ=6$ $SU(N)\times SU(N)$ Chern-Simons-物质理论。
• 探讨在 't Hooft 极限下，经典动力学是否近似于量子混沌，特别是与 Maldacena-Shenker-Stanford (MSS) 界 $\lambda_L \leq 2\pi T$ 的关系。
• 确定最大李雅普诺夫指数 $\lambda_L$ 如何依赖于能量 $E$ 和温度 $T$，并识别出在该界成立的临界温度 $T_c$。
• 将先前对杨-米尔斯矩阵模型（如 BFSS、BMN）的混沌结果拓展至 ABJM 模型，该模型由于其 Chern-Simons 耦合和质量形变，具有不同的对称性和动力学。
• 通过提出将高斯态近似 (GSA) 应用于 ABJM 有效模型，为未来量子分析提供基础。

提出的方法

• 通过假设空间均匀场，将 $2+1$ 维约化为 $0+1$ 维。
• 使用 Gomis-Rodriguez-Gomez-Van Raamsdonk-Verlinde (GRVV) 矩阵来建模模糊2-球面作为时间依赖的集体配置。
• 在 't Hooft 极限（$N \to \infty$，$k$ 固定）下，针对各种假设配置推导有效拉格朗日量和哈密顿量。
• 使用标准混沌系统算法数值计算最大李雅普诺夫指数 $\lambda_L$。
• 应用维里定理和能量均分定理，将能量、温度与 $\lambda_L$ 关联，从而估算临界温度 $T_c$。
• 分析 $\lambda_L$ 对 $E/N^2$ 的函数依赖关系，识别出幂律缩放 $\propto (E/N^2)^{1/3}$ 或 $\propto (E/N^2 - \gamma_N)^{1/3}$，其中 $\gamma_N(k,\mu)$ 依赖于 $k$、$\mu$ 和 $N$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模糊球面假设配置下，质量形变ABJM模型中最大李雅普诺夫指数 $\lambda_L$ 如何随能量 $E$ 变化？
• RQ2 约化ABJM模型的经典混沌动力学是否满足 Maldacena-Shenker-Stanford 界 $\lambda_L \leq 2\pi T$？若满足，其上限温度为多少？
• RQ3 临界温度 $T_c$（即 MSS 界成立的温度）如何依赖于矩阵大小 $N$ 和 Chern-Simons 耦合 $k$？
• RQ4 质量形变 $\mu$ 和有效势结构在塑造混沌动力学及 $\lambda_L$ 缩放中起什么作用？
• RQ5 是否可借助高斯态近似 (GSA) 等方法将经典分析拓展至量子动力学？可能揭示何种新见解？

主要发现

• 对于某些有效势，最大李雅普诺夫指数满足 $\lambda_L \propto (E/N^2)^{1/3}$，与无质量极限下的标度对称性一致。
• 对于其他势结构，$\lambda_L \propto (E/N^2 - \gamma_N)^{1/3}$，其中 $\gamma_N(k,\mu)$ 为依赖于 $k$、$\mu$ 和 $N$ 的常数，表明质量与CS耦合导致的偏移。
• 临界温度 $T_c$（即满足 MSS 界 $\lambda_L \leq 2\pi T$ 的温度）通过数值估算得出，且随 $N$ 或 $k$ 增大而减小，$N=10$、$k=\pm10$ 时 $T_c \approx 0.0167$。
• 临界温度 $T_c$ 通过解析推导得出为 $T_c = \sqrt{7} \left( \frac{\beta_N}{2\pi} \right)^{3/2}$，其中 $\beta_N$ 与有效势参数相关。
• 经典动力学在 $T > T_c$ 时满足 MSS 界，但在 $T \leq T_c$ 时违反该界，表明在低温下经典混沌近似失效。
• 结果表明 ABJM 模型表现出具有 $E^{1/3}$ 幂律缩放的混沌动力学，与 BFSS 模型中的 $E^{1/4}$ 缩放不同，且尽管动力学机制不同，$T_c$ 值与 BFSS 模型相当。