[论文解读] Chaotic Hedging with Iterated Integrals and Neural Networks

Ariel Neufeld, Philipp Schmocker|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的“混沌对冲”框架，将任意$L^p$-可积的金融衍生品表示为具有线性漂移和扩散系数的扩散过程的迭代积分的截断级数。通过在机器学习设置中利用随机神经网络学习被积函数，该方法实现了任意$L^p$-精度下的高效、闭式对冲策略计算，为不完全市场中的衍生品定价与对冲提供了一种快速、可扩展的算法。

ABSTRACT

In this paper, we derive an $L^p$-chaos expansion based on iterated Stratonovich integrals with respect to a given exponentially integrable continuous semimartingale. By omitting the orthogonality of the expansion, we show that every $p$-integrable functional, $p \in [1,\infty)$, can be approximated by a finite sum of iterated Stratonovich integrals. Using (possibly random) neural networks as integrands, we therefere obtain universal approximation results for $p$-integrable financial derivatives in the $L^p$-sense. Moreover, we can approximately solve the $L^p$-hedging problem (coinciding for $p = 2$ with the quadratic hedging problem), where the approximating hedging strategy can be computed in closed form within short runtime.

研究动机与目标

• 将维纳-伊藤混沌分解推广至具有线性漂移和扩散系数的一般扩散过程，包括仿射扩散与多项式扩散。
• 利用截断的迭代积分展开与随机神经网络，开发一种金融衍生品的通用逼近方法。
• 为不完全市场中任意$L^p$-可积的衍生品提供计算高效、闭式表达的对冲策略。
• 为通过混沌展开与神经网络学习实现的逼近的$L^p$-收敛性建立理论基础。
• 证明将随机分析与机器学习相结合以实现稳健的衍生品复制与对冲的可行性。

提出的方法

• 本文利用时空谐波埃尔米特多项式构建非正交混沌展开，将扩散过程的$L^p$-可积泛函表示为迭代积分之和。
• 将无限混沌展开截断为至多$N$阶的有限迭代积分和，确保$L^p$-逼近误差小于$\varepsilon$。
• 用具有可学习参数的随机神经网络($\varphi_n$)替代迭代积分中的确定性被积函数，实现参数化逼近。
• 在机器学习设置中通过最小化二次损失函数训练神经网络参数，确保在$L^p$-意义下的收敛性。
• 通过伊藤公式与鞅表示定理，基于埃尔米特多项式与二次变差的结构，以闭式推导出近似衍生品的对冲策略。
• 通过随机神经网络在$L^{np}$-范数下的通用逼近定理与随机积分的$L^p$-闭包性质，对方法进行理论验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 维纳-伊藤混沌分解能否推广至具有非退化、线性增长漂移与扩散系数的扩散过程？
• RQ2 任意$L^p$-可积的扩散过程泛函是否可表示为无需正交性的迭代积分之和？
• RQ3 随机神经网络能否在$L^p$-精度下通用逼近迭代积分展开中的被积函数？
• RQ4 通过混沌展开得到的近似衍生品是否可导出闭式对冲策略？
• RQ5 基于机器学习的被积函数逼近是否能实现向真实衍生品收益的$L^p$-收敛？

主要发现

• 具有线性漂移与扩散系数的扩散过程的任意$L^p$-可积泛函均可表示为迭代积分之和，将经典维纳-伊藤混沌分解从布朗运动推广至更广范围。
• 所提出的混沌展开虽为非正交，但通过截断仍可实现对任意此类泛函的任意精度$L^p$-逼近。
• 随机神经网络可在$L^{np}$-范数下通用逼近混沌展开中的被积函数，确保整体逼近的$L^p$-收敛性。
• 近似衍生品的对冲策略可闭式计算，其推导基于对随机积分过程的埃尔米特多项式应用伊藤公式。
• 通过混沌展开截断与被积函数的神经网络逼近相结合，该方法可实现小于$\varepsilon$的$L^p$-误差。
• 该框架实现了在不完全市场中对金融衍生品的快速、可扩展且数值高效的复制，且保证收敛性。