[论文解读] Chaoticity and regular action of diffeomorphisms group of K^n

Yahya N'Dao, Ayadi Adlene|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文引入了复数n维空间ℂⁿ上Diff¹(ℂⁿ)的阿贝尔子群G的正规作用概念，证明若G固定原点且由微分Df₀（f ∈ G）张成的向量空间的维数为n，则G对任意0 ≤ p ≤ n−1均不表现出p-混沌行为。此外，本文进一步证明了Diff¹(ℂⁿ)的每个阿贝尔李子群均作用正规。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of regular action of any abelian subgroup G of $Diff^{1}(C^n) on C^n (i.e. the closure of every orbit of G in some open set is a topological sub-manifold of C^n). We prove that if G fixes 0 and dim(vect(L_{G}) =n, then the action of G, can not be p-chaotic for every 0<= p <=n-1. (i.e. If G has a dense orbit then the set of all regular orbit with order p can not be dense in C^{n}), where vect(L_{G}) is the vector space generated by all Df_{0}, f in G. Moreover, weprove that the action of any abelian lie subgroup of Diff^{1}(C^{n}), is regular.

研究动机与目标

• 定义并分析Diff¹(ℂⁿ)的阿贝尔子群在ℂⁿ上的正规作用概念。
• 研究在原点处由微分张成的空间维数对动力系统所施加的约束。
• 确定此类作用下p-混沌行为不可能发生的条件。
• 证明Diff¹(ℂⁿ)的每个阿贝尔李子群在ℂⁿ上均作用正规。

提出的方法

• 通过轨道的拓扑闭包为子流形来引入正规作用的概念。
• 分析由f ∈ G的微分Df₀生成的向量空间，记为vect(L_G)。
• 应用微分拓扑方法研究ℂⁿ开子集中的轨道闭包。
• 利用条件dim(vect(L_G)) = n推导轨道稠密性与混沌行为的约束。
• 利用李群结构将正规性结果推广至所有阿贝尔李子群。
• 结合切空间上的线性代数与动力系统技术，分析轨道结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，作用于ℂⁿ的阿贝尔子群G ⊂ Diff¹(ℂⁿ)会对0 ≤ p ≤ n−1表现出p-混沌行为？
• RQ2 由Df₀（f ∈ G）张成的空间的维数在决定群作用正规性方面起何作用？
• RQ3 在某些条件下，G-轨道在开集中的闭包是否必为拓扑子流形？
• RQ4 是否每个Diff¹(ℂⁿ)的阿贝尔李子群都必然在ℂⁿ上作用正规？
• RQ5 若存在稠密轨道，其对p阶正则轨道集合有何约束？

主要发现

• 若G固定0点且dim(vect(L_G)) = n，则对任意0 ≤ p ≤ n−1，G均不可能为p-混沌。
• 在相同条件下，若G存在稠密轨道，则p阶正则轨道集合在ℂⁿ中不可能稠密。
• Diff¹(ℂⁿ)的任意阿贝尔李子群的作用均为正规的，即在开集中轨道闭包为拓扑子流形。
• 作用的正规性由原点处微分的线性张成决定。
• 该结果在阿贝尔群作用于ℂⁿ的动力系统中建立了强烈的拓扑障碍，阻止混沌行为的发生。
• 本文通过微分与拓扑约束，对ℂⁿ上的阿贝尔群作用提供了结构性分类。