[论文解读] Chapman-Enskog Analysis of Finite Volume Lattice Boltzmann Schemes

Nima H. Siboni, Dierk Raabe+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2014

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 48被引用 3

一句话总结

本文对二维有限体积格子Boltzmann格式进行了系统的Chapman-Enskog分析，推导了不同通量计算格式下格子Boltzmann松弛时间与流体运动粘度之间的关系。结果表明，恒定迎风格式引入了人工数值粘度，而中心格式与线性迎风格式则避免了该误差，从而能够准确恢复Navier-Stokes方程并保持一致的粘度标度。

ABSTRACT

In this paper, we provide a systematic analysis of some finite volume lattice Boltzmann schemes in two dimensions. A complete iteration cycle in time evolution of discretized distribution functions is formally divided into collision and propagation (streaming) steps. Considering mass and momentum conserving properties of the collision step, it becomes obvious that changes in the momentum of finite volume cells is just due to the propagation step. Details of the propagation step are discussed for different approximate schemes for the evaluation of fluxes at the boundaries of the finite volume cells. Moreover, a full Chapman-Enskog analysis is conducted allowing to recover the Navier-Stokes equation. As an important result of this analysis, the relation between the lattice Boltzmann relaxation time and the kinematic viscosity of the fluid is derived for each approximate flux evaluation scheme. In particular, it is found that the constant upwind scheme leads to a positive numerical viscosity while the central scheme as well as the linear upwind scheme are free of this artifact.

研究动机与目标

• 为广泛使用但缺乏全面理论分析的有限体积格子Boltzmann方法提供一个系统的分析框架。
• 研究有限体积LBM中不同通量计算格式对宏观流体行为（特别是粘度）的影响。
• 利用Chapman-Enskog展开，推导各类格式下有效运动粘度与格子Boltzmann松弛时间之间的关系。
• 阐明迎风型格式中数值粘度的来源，并将其与物理粘度区分开来。
• 通过多尺度渐近分析验证有限体积LBM与Navier-Stokes方程的一致性。

提出的方法

• 将分布函数的时间演化分解为碰撞与传播（平流）步骤，并在碰撞步骤中强制满足质量与动量守恒。
• 在格点节点周围定义有限体积单元，通过不同的近似格式（中心、线性迎风、恒定迎风）在单元边界计算通量。
• 应用多尺度Chapman-Enskog展开，引入小参数ε以分离快速（碰撞）与慢速（宏观）时间尺度。
• 将分布函数展开为F_i = F_i^0 + εF_i^1 + ε²F_i^2 + ...，并按ε的各阶次逐项求解方程以推导宏观方程。
• 在不可压缩极限下恢复Navier-Stokes方程，其粘性项由展开中的二阶贡献项导出。
• 通过将推导出的粘性项与标准Navier-Stokes形式比较，计算有效粘度，从而得出每种格式下τ与μ之间的显式关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限体积格子Boltzmann方法中不同通量计算格式如何影响模拟流体的有效粘度？
• RQ2 在有限体积格式中，格子Boltzmann松弛时间τ与运动粘度ν之间存在何种关系？
• RQ3 为何恒定迎风格式会引入中心或线性迎风格式中不存在的额外数值粘度？
• RQ4 Chapman-Enskog分析能否一致地恢复具有非均匀通量近似的有限体积LBM的Navier-Stokes方程？
• RQ5 恒定迎风格式中额外粘性项的来源是什么？它如何改变物理粘度？

主要发现

• 恒定迎风格式引入了一个与1/2成正比的额外数值粘度项，导致有效粘度为μ = ρc_s²(τ + 1/2)，其值超过物理粘度。
• 中心格式与线性迎风格式未引入此类虚假粘度，从而实现了对物理粘度μ = ρc_s²τ的清晰恢复。
• 二阶Chapman-Enskog展开表明，中心与线性迎风格式中的粘性项来源于碰撞与传播的贡献，与标准Navier-Stokes形式一致。
• 恒定迎风格式中的粘性项归因于通量近似中的二阶项，特别是∂²F₀/∂x²与∂²F₀/∂y²的贡献。
• 分析结果证实，中心与线性迎风格式不包含人工数值粘度，因此在模拟物理流体动力学时更具准确性。
• 推导建立了每种通量计算方法下格子Boltzmann松弛时间τ与运动粘度ν之间清晰的解析关系，为参数校准提供了依据。