[论文解读] Character codegrees of maximal class p-groups

Sarah Croome, Mark L. Lewis|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文研究了极大类 $p$-群中不可约特征标的的共度数，证明在特定条件下（如为正规单性或具有较少的特征标度数），这些共度数为 $p$ 的连续幂次。关键结果表明，若一个 $p$-群的所有 $p$ 的幂次从 $p^0$ 到 $p^{n-1}$ 均为共度数，则该群必为阶为 2 的幂阶阿贝尔-循环群，或为具有极大类且恰好有两个特征标度数的群。

ABSTRACT

Let $G$ be a $p$-group and let $χ$ be an irreducible character of $G$. The codegree of $χ$ is given by $|G: ext{ker}(χ)|/χ(1)$. If $G$ is a maximal class $p$-group that is normally monomial or has at most three character degrees then the codegrees of $G$ are consecutive powers of $p$. If $|G|=p^n$ and $G$ has consecutive $p$-power codegrees up to $p^{n-1}$ then the nilpotence class of $G$ is at most 2 or $G$ has maximal class.

研究动机与目标

• 确定其特征标共度数构成完整连续 $p$-幂次集合的极大类 $p$-群的结构。
• 研究极大类 $p$-群的共度数是否始终为连续的 $p$ 的幂次，尤其关注其幂零类与特征标度数集合之间的关系。
• 探讨正规单性与幂零群结构在约束共度数集合中的作用。
• 建立 $p^n$ 阶 $p$-群中从 $p^0$ 到 $p^{n-1}$ 的全部 $p$-幂次均作为共度数出现的充分必要条件。

提出的方法

• 定义不可约特征标 $\chi$ 的共度数为 $\text{cod}(\chi) = |G:\ker(\chi)| / \chi(1)$，并研究 $\text{cod}(G)$，即所有此类共度数的集合。
• 对正规单性 $p$-群使用商群 $G/Z$ 的归纳法，利用正规单性群的商群仍为正规单性这一事实。
• 应用伊藤定理及特征标诱导的相关结果，分析 $p$-群中忠实不可约特征标的度数。
• 利用上中心列与下中心列分析幂零类，并将其与特征标度数和共度数结构联系起来。
• 利用关于具有较少特征标度数的 $p$-群（如 $\text{cd}(G) = \{1,p\}$）的已知结果，对具有极大共度数集合的群进行分类。
• 通过商群分析与特征标度数界，证明对阶至少为 $p^6$ 的极大类 $p$-群，有 $p^4 \in \text{cod}(G)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，极大类 $p$-群的共度数全为 $p$ 的连续幂次？
• RQ2 特征标度数的个数与极大类 $p$-群中共度数结构之间存在何种关系？
• RQ3 极大类 $p$-群的共度数是否可能在预期范围内缺失某个 $p^k$？若存在，其条件为何？
• RQ4 正规单性性质如何约束极大类 $p$-群的共度数集合？
• RQ5 是否存在对共度数覆盖从 $p^0$ 到 $p^{n-1}$ 的所有 $p$-幂次的 $p$-群的结构刻画？

主要发现

• 阶为 $p^n$ 的 $p$-群 $G$ 满足 $\text{cod}(G) = \{p^i \mid 0 \leq i \leq n-1\}$ 当且仅当其同构于 $\mathbb{Z}_{p^{n-1}} \times \mathbb{Z}_p$，或为阶为 $n \geq 4$ 的类 2 群，或为恰好有两个特征标度数的极大类群。
• 对于满足 $\text{cd}(G) = \{1, p, p^b\}$ 的极大类 $p$-群，其共度数为 $\{p^i \mid 0 \leq i \leq c\}$，其中 $c$ 满足 $n - b \leq c \leq n - 2$。
• 在幂零群的极大类 $p$-群中，共度数为连续的 $p$ 的幂次，其最大共度数为 $p^{n-1}$ 或 $p^{n-2}$。
• 对于阶为 $p^n$ 的正规单性极大类 $p$-群，其共度数为 $\{p^i \mid 0 \leq i \leq c\}$，其中 $c \geq n - b$，$b = \log_p(b(G))$，且 $b(G)$ 为最大特征标度数。
• 若 $|G| \geq p^6$，则对任意极大类 $p$-群 $G$，均有 $p^4 \in \text{cod}(G)$，且该界是紧的。
• 存在阶为 $p^5$ 的极大类 $p$-群（例如 SmallGroup(3^5,i)，其中 $i=28,29,30$），使得 $p^4 \notin \text{cod}(G)$，表明在阶小于 $p^6$ 时，$p^4$ 并非必然出现在共度数集合中。