[论文解读] Character Sheaves of Algebraic Groups Defined over Non-Archimedean Local Fields

Clifton Cunningham, Hadi Salmasian|ArXiv.org|Dec 26, 2008

advanced mathematical theories参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文建立了非阿代尔局部域上半单代数群的某些特征层与该群有理点群的虚拟可施行表示之间的对应关系。通过使用积分模型的特殊纤维上的邻近上同调与弗罗贝尼乌斯作用，将 $\mathrm{GL}(N)_{\overline{\mathbb{K}}}$ 上的 perverse 层与 $\mathrm{GL}(N,\mathbb{K})$ 的广义主系数表示相匹配，将特征层的几何理论扩展至有限域与复数域之外。

ABSTRACT

This paper concerns character sheaves of connected reductive algebraic groups defined over non-Archimedean local fields and their relation with characters of smooth representations. Although character sheaves were devised with characters of representations of finite groups of Lie type in mind, character sheaves are perfectly well defined for reductive algebraic groups over any algebraically closed field. Nevertheless, the relation between character sheaves of an algebraic group $G$ over an algebraic closure of a field $K$ and characters of representations of $G(K)$ is well understood only when $K$ is a finite field and when $K$ is the field of complex numbers. In this paper we consider the case when $K$ is a non-Archimedean local field and explain how to match certain character sheaves of a connected reductive algebraic group $G$ with virtual representations of $G(K)$. In the final section of the paper we produce examples of character sheaves of general linear groups and matching admissible virtual representations.

研究动机与目标

• 将特征层理论——此前仅在有限域和 $\mathbb{C}$ 上理解——扩展至非阿代尔局部域上的半单代数群。
• 在 $G_{\overline{\mathbb{K}}}$ 上的 perverse 层（特征层）与 $G(\mathbb{K})$ 的虚拟可施行表示之间建立几何对应关系。
• 构建一个层-分布字典，将特征层与 $p$-进情形下可施行表示的特征相联系。
• 在一般线性群的情形下展示该对应关系，此时结构最简单且匹配关系明确。
• 为更一般情形下涉及内播群的理论奠定基础。

提出的方法

• 使用邻近上同调函子 $\mathrm{R}\Psi$，将光滑积分模型的通用纤维上的特征层与特殊纤维上的表示相联系。
• 在帕拉霍里子群的特殊纤维上应用弗罗贝尼乌斯映射，将邻近上同调与有限半单商群进行比较。
• 在 $\mathrm{GL}(N)_{\overline{\mathbb{K}}}$ 上构造一个层 $\mathcal{F}$，使得 $(-1)^N\mathcal{F}$ 在特征层理论的意义下与广义主系数表示 $\pi$ 匹配。
• 利用施耐德-斯图勒特征公式，将表示的迹与层的特征函数相联系。
• 在帕拉霍里子群及其有限半单商群的背景下，运用诱导与限制函子。
• 采用函数-层字典，通过迹函数将层论数据与特征论数据相互转换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将非阿代尔局部域上半单代数群的特征层与可施行表示的特征相联系？
• RQ2 何种几何工具能够实现 $G_{\overline{\mathbb{K}}}$ 上的 perverse 层与 $G(\mathbb{K})$ 的虚拟表示之间的对应？
• RQ3 邻近上同调函子能否用于将通用纤维上的层与光滑积分模型特殊纤维上的表示相联系？
• RQ4 帕拉霍里模型特殊纤维上的弗罗贝尼乌斯作用在该对应关系中起何种作用？
• RQ5 当 $\pi$ 为不可约或 cuspidal 时，$\mathcal{F}$ 与 $\pi$ 之间的匹配关系如何表现？

主要发现

• 对于由勒维子群上的超临界表示诱导出的 $\mathrm{GL}(N,\mathbb{K})$ 的广义主系数表示 $\pi$，存在一个 $\mathrm{GL}(N)_{\overline{\mathbb{K}}}$ 上的 perverse 层 $\mathcal{F}$，使得 $(-1)^N\mathcal{F}$ 在特征层理论的意义下与 $\pi$ 匹配。
• 该匹配通过将函子 $\mathrm{R}\Psi$ 应用于一个层 $\mathcal{G}$ 而建立，其迹函数对应于勒维子群上表示 $\sigma$ 的特征。
• 诱导表示 $\pi$ 的特征作为 $\pi$ 在帕拉霍里子群上的紧致限制的迹被恢复，该迹通过从有限半单商群的诱导实现匹配。
• 该对应关系尊重抛物诱导的结构，$\mathrm{GL}(N)$ 上的特征层通过邻近上同调构造，由勒维子群上的局部系统诱导而来。
• 当 $\pi$ 不可约时，相应的层 $\mathcal{F}$ 本身即为一个特征层，表明不可约可施行表示得到了强有力的几何实现。
• 该方法推广了有限域与复数情形，为 $p$-进表示理论提供了一个新的几何框架，使用 $\ell$-进层与邻近上同调。