[论文解读] Character sums with Beatty sequences on Burgess-type intervals

William D. Banks, Igor E. Shparlinski|ArXiv.org|Aug 2, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文为无理数 $\alpha$ 的非齐次Beatty序列 $\{\lfloor \alpha n + \beta \rfloor\}_{n=1}^N$ 上的乘法特征和建立了非平凡界，将Burgess型估计推广到此情形。通过结合指数和技巧与不均匀度界，证明了此类和为 $O(Nk^{-\rho})$，其中 $N \geq B_\varepsilon(k)$，且 $\rho > 0$ 仅依赖于 $\varepsilon$ 和 $\alpha$ 的丢番图类型 $\tau$，即使在短区间内也实现了非平凡抵消。

ABSTRACT

We estimate multiplicative character sums taken on the values of a non-homogeneous Beatty sequence $\{[αn + β] : n =1,2,... \}$, where $α,β\in\R$, and $α$ is irrational. Our bounds are nontrivial over the same short intervals for which the classical character sum estimates of Burgess have been established.

研究动机与目标

• 将Burgess的经典特征和估计推广至非齐次Beatty序列的设定。
• 为无理数 $\alpha$ 下 $\lfloor \alpha n + \beta \rfloor$ 取值上的乘法特征和建立非平凡界。
• 在 $\beta$ 上提供一致的界，并将有效范围扩展至先前结果之外，特别是针对素数模数。
• 证明基于指数和与不均匀度理论的方法可推广至乘法特征以外的算术函数，包括素数和光滑数。

提出的方法

• 使用截断特征函数的傅里叶展开来近似Beatty序列值的指示函数。
• 应用经典Burgess对不完全特征和 $U_k(t, \chi; M_0, M) = \sum_{M_0 < m \leq M} \chi(m) \mathbf{e}(tm)$ 的界。
• 通过Vinogradov方法及对无理旋转指数和的界，估计指数和 $U_k(t, \chi; M_0, M)$。
• 利用不均匀度理论控制通过区间的并近似Beatty序列时的误差，依赖于 $\{\alpha n + \beta\}$ 的均匀分布。
• 将和分解为二元区间，并对满足 $|j| \leq kN^{-1-\eta}$ 和 $|j| > kN^{-1-\eta}$ 的傅里叶系数进行二元求和，对每种范围使用不同的界。
• 选择参数 $\Delta = N^{(\eta-1)/2}$ 以平衡不均匀度误差与傅里叶级数尾部的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在与经典Burgess估计相同的短区间长度下，为Beatty序列上的特征和建立非平凡界？
• RQ2 如何影响 $\alpha$ 的丢番图类型 $\tau$ 使得所得特征和界的强度？
• RQ3 基于指数和与不均匀度的方法能否推广至乘法特征以外的其他算术函数？
• RQ4 特征和在Beatty序列上发生非平凡抵消的最优 $N$ 范围是什么？

主要发现

• 对于有限类型 $\tau$ 的无理数 $\alpha$，特征和 $S_k(\alpha, \beta, \chi; N)$ 满足 $O(Nk^{-\rho})$，对所有 $N \geq B_\varepsilon(k)$ 成立，其中 $\rho > 0$ 仅依赖于 $\varepsilon$ 和 $\tau$。
• 当 $k = p$ 为素数时，界改进为 $O(Np^{-\rho})$，对 $N \geq p^{1/4 + \varepsilon}$ 成立，将有效范围从先前工作的 $p^{1/3 + \varepsilon}$ 扩展。
• 该界在 $\beta$ 上一致，可应用于形如 $\sum_{M+1 \leq n \leq M+N} \chi(\lfloor \alpha n + \beta \rfloor)$ 的平移和。
• 只要存在适当的指数和界，该方法可对Beatty序列中的素数和光滑数的和给出非平凡估计。
• 通过 $O(\Delta N + o(N))$ 控制分数部分 $\{\alpha n + \beta\}$ 的不均匀度带来的误差项，其中 $\Delta$ 的选择用于平衡傅里叶级数误差。
• 最终界 $O(N^{1-\eta}\log N + N^{\eta}\Delta^{-1})$ 在 $\Delta = N^{(\eta-1)/2}$ 时最小化，得到所述的 $O(Nk^{-\rho})$ 结果。