[论文解读] Characterisation for Exponential Stability of port-Hamiltonian Systems

Sascha Trostorff, Marcus Waurick|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2022

Control and Stability of Dynamical Systems被引用 6

一句话总结

本文通过引入非自治常微分方程族基本解的统一有界性条件，为端口-哈密顿系统的指数稳定性提供了新的刻画，消除了以往对哈密顿密度有界变差等强正则性假设的依赖。关键结果在较弱条件下建立了指数稳定性，推广了现有判据，并使 $ L_\infty $ 中的哈密顿量也能进行稳定性分析。

ABSTRACT

Given an energy-dissipating port-Hamiltonian system, we characterise the exponential decay of the energy via the model ingredients under mild conditions on the Hamiltonian density $\mathcal{H}$. In passing, we obtain generalisations for sufficient criteria in the literature by making regularity requirements for the Hamiltonian density largely obsolete. The key assumption for the characterisation (and thus the sufficient critera) to work is a uniform bound for a family of fundamental solutions for some non-autonomous, finite-dimensional ODEs. Regularity conditions on $\mathcal{H}$ for previously known criteria such as bounded variation are shown to imply the key assumption. Exponentially stable port-Hamiltonian systems with irregular $L_{\infty}$-densities are provided.

研究动机与目标

• 在不依赖哈密顿密度 $\mathcal{H}$ 的强正则性条件的前提下，刻画端口-哈密顿系统的指数稳定性。
• 通过使正则性要求基本过时，推广现有的指数稳定性充分判据。
• 识别出一个关键假设——非自治常微分方程系统基本解的统一有界性——该假设可确保能量的指数衰减。
• 证明即使 $\mathcal{H}$ 仅属于 $L_\infty$，指数稳定的系统依然存在，从而将适用范围扩展至正则性更低的材料参数。

提出的方法

• 引入由 $ u'(x) = -\mathrm{i}t P_1^{-1}(\mathcal{H}(x)^{-1} + P_0)u(x) $ 定义的非自治常微分方程系统，初始条件为 $ \Phi_t(a) = I_d $。
• 定义基本解 $ \Phi_t $，并将 $ t \in \mathbb{R} $ 上 $ \Phi_t $ 的统一有界性作为稳定性的一个关键假设。
• 利用 $ C_0 $-半群理论与 Lumer–Phillips 定理，通过生成元 $ \mathcal{A} $ 刻画指数稳定性。
• 应用广义的 Gronwall 型不等式（定理 6.12）估计常微分方程解的增长，将其与 $ \mathcal{H}^{-1} $ 的总变差联系起来。
• 采用 $ \mathrm{D}_x \mathcal{O} $（即 $ \mathcal{O} = \mathcal{H}^{-1} $ 的分布导数）的概念，以处理低正则性的 $ \mathcal{H} $。
• 证明 $ \mathcal{H}^{-1} $ 的有界变差可推出关键的统一有界性条件，从而恢复并扩展了先前结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哈密顿密度 $ \mathcal{H} $ 的何种条件下，端口-哈密顿系统是指数稳定的？
• RQ2 是否可以放宽稳定性判据中对 $ \mathcal{H} $ 的有界变差或利普希茨连续性的要求？
• RQ3 是否存在一种指数稳定性的刻画，仅依赖于系统结构，而不依赖于 $ \mathcal{H} $ 的强正则性？
• RQ4 非自治常微分方程系统基本解的统一有界性是否构成指数稳定性的充分且特征性条件？
• RQ5 是否可在不具连续性或有界变差性的情况下，为 $ \mathcal{H} \in L_\infty $ 建立指数稳定性？

主要发现

• 端口-哈密顿系统的指数稳定性由关联非自治常微分方程的基本解族 $ \Phi_t $ 的统一有界性所刻画。
• 关键假设——$ \Phi_t $ 的统一有界性——被证明可由 $ \mathcal{H}^{-1} $ 的有界变差推出，从而推广了早期结果。
• 本文构造了 $ \mathcal{H} \in L_\infty $ 的指数稳定端口-哈密顿系统实例，表明正则性假设可被显著弱化。
• 证明技术依赖于分布导数形式与改进的 Gronwall 型不等式，以控制解的增长。
• 该刻画独立于 $ \mathcal{H} $ 的具体形式，只要基本解保持统一有界即可。
• 本结果通过去除对 $ \mathcal{H} $ 有界变差的需求，将 [16] 中定理 1.1 推广至更结构化的 ODE 流条件。