[论文解读] Characterisations of crossed products by partial actions

John Quigg, Iain Raeburn|ArXiv.org|Apr 3, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 26

一句话总结

本文通过双重对偶的对偶共作用与谱子空间，刻画了离散群部分作用下的约化交叉积，推广了Exel对单个部分自同构的交叉积结果。关键贡献在于一种结构刻画，通过在双重对偶中实现谱子空间之间同构的部分表示，将Cuntz代数、Cuntz-Krieger代数以及Nica的Toeplitz代数识别为自由群 $\mathbb{F}_n$ 的部分作用下的交叉积。

ABSTRACT

Partial actions of discrete groups on $C^*$-algebras and the associated crossed products have been studied by Exel and McClanahan. We characterise these crossed products in terms of the spectral subspaces of the dual coaction, generalising and simplifying a theorem of Exel for single partial automorphisms. We then use this characterisation to identify the Cuntz algebras and the Toeplitz algebras of Nica as crossed products by partial actions.

研究动机与目标

• 通过双重对偶共作用与谱子空间，提供离散群部分作用下约化交叉积的刻画。
• 将Exel对单个部分自同构的交叉积刻画推广至一般离散群。
• 将Cuntz代数 $\mathcal{O}_n$、Cuntz-Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ 以及Nica的Toeplitz代数识别为自由群 $\mathbb{F}_n$ 的部分作用下的交叉积。
• 在 $\mathcal{O}_n$ 上建立 $\mathbb{F}_n$ 的典范共作用，并将其与已知的 $C^*$-代数结构联系起来。

提出的方法

• 在双重对偶 $B^{**}$ 中，通过构造一个普遍协变表示，将交叉积 $A \times_\alpha G$ 定义为生成的 $C^*$-代数，确保存在群 $G$ 的对偶共作用 $\delta$。
• 利用实现物化双模乘子的希尔伯特模同构，定义 $B^{**}$ 中群 $G$ 的一个部分表示 $m$。
• 通过存在一个 $B^{**}$ 中的部分表示 $m$，满足 $m_s m_t \preceq m_{st}$ 且诱导共作用 $\delta$ 的谱子空间之间的同构，来刻画约化交叉积。
• 将该刻画应用于自由群 $\mathbb{F}_n$，其中部分作用由对应于生成元的 $n$ 个部分自同构确定。
• 通过威纳-霍普夫代数结构，识别共作用 $\delta$ 的谱子空间 $B_s$，并证明 $B_s = W_{\sigma(s)} \mathcal{D} W^*_{\tau(s)}$ 对于 $s \in PP^{-1}$。
• 验证映射 $m_s = W_{\sigma(s)} W^*_{\tau(s)}$ 对于 $s \in PP^{-1}$ 定义了一个满足所需公理的部分表示，并诱导出所需的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过双重对偶共作用与谱子空间刻画离散群部分作用下的约化交叉积？
• RQ2 Exel对单个部分自同构的交叉积刻画能否推广至任意离散群？
• RQ3 Cuntz代数 $\mathcal{O}_n$ 与Cuntz-Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ 能否作为自由群 $\mathbb{F}_n$ 的部分作用下的交叉积实现？
• RQ4 Nica的Toeplitz代数能否通过同一刻画框架识别为部分作用下的交叉积？
• RQ5 在该框架中，$\mathbb{F}_n$ 在 $\mathcal{O}_n$ 上的典范共作用起什么作用？

主要发现

• 约化交叉积 $A \times_{\alpha,r} G$ 被刻画为一个 $C^*$-代数 $B$，其携带群 $G$ 的共作用 $\delta$ 以及 $B^{**}$ 中的部分表示 $m$，使得 $m_s$ 诱导谱子空间 $B_s$ 与 $B_{s^{-1}}$ 之间的同构，且满足 $m_s m_t \preceq m_{st}$。
• 对于自由群 $\mathbb{F}_n$，由乘法部分作用（由 $n$ 个部分自同构确定）的交叉积，通过对应于生成元的谱子空间来刻画。
• Cuntz代数 $\mathcal{O}_n$ 被实现为 $\mathbb{F}_n$ 的部分作用下的交叉积，且 $\mathbb{F}_n$ 在 $\mathcal{O}_n$ 上的典范共作用起核心作用。
• Cuntz-Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ 通过同一刻画框架被识别为 $\mathbb{F}_n$ 的部分作用下的交叉积。
• 对于拟格序群 $(G,P)$，Nica的Toeplitz代数 $\mathcal{W}(G,P)$ 同构于对角子代数 $\mathcal{D}$ 上的典范部分作用 $\alpha$ 的约化交叉积 $\mathcal{D} \times_{\alpha,r} G$。
• 威纳-霍普夫表示 $\mathcal{W}(G,P)$ 诱导与普遍 $C^*$-代数 $C^*(G,P)$ 的同构，支持将 $\mathcal{W}(G,P)$ 识别为部分作用下的交叉积。