[论文解读] Characterisations of Intersection Graphs by Vertex Orderings

David R. Wood|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2004

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过特定的顶点排序，對區間圖、比較圖、共比較圖、排列圖和分割圖進行了特徵描述。主要貢獻在於證明區間圖、共比較圖、AT-自由圖和分割圖的帶寬至多為其最大度數，並利用基於排序的特徵描述，為這些圖類型提供了緊緻的界。

ABSTRACT

Characterisations of interval graphs, comparability graphs, co-comparability graphs, permutation graphs, and split graphs in terms of linear orderings of the vertex set are presented. As an application, it is proved that interval graphs, co-comparability graphs, AT-free graphs, and split graphs have bandwidth bounded by their maximum degree.

研究动机与目标

• 透過特定的頂點排序對基本圖類型——區間圖、比較圖、共比較圖、排列圖與分割圖進行特徵描述。
• 建立頂點排序上的結構條件，以精確描述這些圖類型。
• 應用這些特徵描述，根據最大度數 Δ(G) 衍生帶寬的上界。
• 證明區間圖、共比較圖、AT-自由圖與分割圖的帶寬受其最大度數 Δ(G) 上界限制。
• 為分割圖提供緊緻的漸近帶寬界，顯示其最壞情況下可達 Ω(Δ²)。

提出的方法

• 提出區間圖的頂點排序條件：若 v_i v_k ∈ E 且 i < j < k，則 v_i v_j ∈ E。
• 引入比較圖的條件：若 v_i v_j 與 v_j v_k 為邊，且 i < j < k，則 v_i v_k 必須也是邊。
• 定義共比較圖的條件：若 v_i v_k ∈ E 且 i < j < k，則 v_i v_j ∈ E 或 v_j v_k ∈ E。
• 將帶寬定義為所有頂點排序中最小寬度，其中寬度為任意邊 v_i v_j 的 |i - j| 的最大值。
• 利用頂點排序特徵描述，根據最大度數 Δ(G) 界定帶寬，特別是證明區間圖與共比較圖的帶寬 ≤ Δ(G)。
• 使用極值構造顯示分割圖的帶寬可達 Ω(Δ²/12)，從而確立上界之緊緻性。

实验结果

研究问题

• RQ1 區間圖能否以滿足以下條件的頂點排序來特徵描述：若 v_i v_k ∈ E 且 i < j < k，則 v_i v_j ∈ E？
• RQ2 共比較圖是否具有某種頂點排序，使得對任意 i < j < k，若 v_i v_k ∈ E，則 v_i v_j ∈ E 或 v_j v_k ∈ E？
• RQ3 每一個區間圖的帶寬是否都受其最大度數 Δ(G) 上界限制？
• RQ4 分割圖的帶寬能否以 Δ(G) 來界定，且最緊密的界為何？
• RQ5 最大度數為 Δ(G) 的分割圖，其最大可能帶寬為何？能否透過頂點排序性質來特徵描述？

主要发现

• 區間圖的帶寬至多為 Δ(G)，此結果由滿足「若右端邊存在，則左端與中間頂點間邊亦存在」條件的頂點排序所證明。
• 共比較圖的帶寬亦至多為 Δ(G)，此結果源自其基於滿足析取邊條件的頂點排序之特徵描述。
• AT-自由圖的帶寬受 Δ(G) 上界限制，此結果將原結果推廣至更廣泛的圖類。
• 分割圖的帶寬至多為 Δ(G)(Δ(G) + 2)，且此界在常數因子內為緊緻。
• 存在最大度數為 Δ(G) 且帶寬至少為 Δ(G)²/12 的分割圖，顯示此上界在漸近意義下為緊緻。
• 本文確立了區間圖、共比較圖與 AT-自由圖的帶寬受 Δ(G) 上界限制，核心技術為基於排序的特徵描述。