[论文解读] Characteristic class and the epsilon factor of an étale sheaf

Naoya Umezaki, Enlin Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明了一个全局扭公式，将有限域上射影光滑簇上平展层的ε因子与其示性类联系起来，解决了冈田与佐藤的猜想。关键结果表明，该层与表示的张量积下ε因子的比值等于该表示的行列式作用于示性类的结果，其应用包括示性类在适当推前下的相容性以及曲面上两种Swan类的等价性。

ABSTRACT

We prove a twist formula for the epsilon factor of a constructible sheaf on a projective smooth variety over a finite field in terms of characteristic class of the sheaf. This formula is a modified version of the formula conjectured by Kato and Saito in [Ann. Math., 168 (2008):33-96, Conjecture 4.3.11]. We give two applications of the twist formula. Firstly, we prove that the characteristic classes of constructible étale sheaves on projective smooth varieties over a finite field are compatible with proper push-forward. Secondly, we show that the two Swan classes in the literature are the same on proper smooth surfaces over a finite field.

研究动机与目标

• 证明有限域上射影光滑簇上平展层的ε因子的全局扭公式。
• 解决冈田与佐藤关于ε因子与层示性类之间关系的猜想。
• 建立射影光滑簇上构造层的示性类在适当推前下的相容性。
• 证明有限域上适当光滑曲面上两种现有Swan类定义的等价性。

提出的方法

• 通过T. 佐藤发展的层的示性循环定义示性类 $cc_X\mathcal{F} \in CH_0(X)$。
• 应用指标公式 $\chi(X_{\bar{k}}, \mathcal{F}) = \deg(cc_X\mathcal{F})$ 将欧拉示性数与示性类关联起来。
• 利用贝林森与T. 佐藤在分歧理论方面的最新进展，无需限制地处理了野生分歧与任意分歧。
• 通过对偶性与迹公式推导出扭公式 $\det\rho(-cc_X\mathcal{F}) = \varepsilon(X, \mathcal{F} \otimes \rho) / \varepsilon(X, \mathcal{F})^{\dim \rho}$ 在 $\Lambda^\times$ 中成立。
• 将该公式应用于证明示性类在适当推前下的相容性：$f_*(cc_X\mathcal{F}) = cc_Y Rf_*\mathcal{F}$ 在 $CH_0(Y)$ 中。
• 通过约化到阿贝尔覆盖情形并利用扭公式，证明了在适当光滑曲面上两种Swan类（$\mathrm{Sw}^{ks}$ 与 $\mathrm{Sw}^{cc}$）的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域上的全局L函数背景下，平展层的ε因子如何与它的示性类相关？
• RQ2 冈田-佐藤猜想中关于ε因子与示性类的关系是否在无分歧限制下依然成立？
• RQ3 在有限域上射影光滑簇的背景下，构造层的示性类是否与适当推前相容？
• RQ4 在有限域上的适当光滑曲面上，两种现有Swan类定义——$\mathrm{Sw}^{ks}$ 与 $\mathrm{Sw}^{cc}$——是否等价？

主要发现

• 对有限域上射影光滑簇上的任意构造层 $\mathcal{F}$，扭公式 $\det\rho(-cc_X\mathcal{F}) = \varepsilon(X, \mathcal{F} \otimes \rho) / \varepsilon(X, \mathcal{F})^{\dim \rho}$ 在 $\Lambda^\times$ 中成立。
• 示性类 $cc_X\mathcal{F}$ 与适当推前相容：对适当映射 $f: X \to Y$，有 $f_*(cc_X\mathcal{F}) = cc_Y Rf_*\mathcal{F}$ 在 $CH_0(Y)$ 中。
• 当 $Y = \mathrm{Spec}(k)$ 时，该公式作为特例恢复了格罗滕迪克-奥格-沙法列维奇公式。
• 在有限域上的适当光滑曲面上，两种Swan类 $\mathrm{Sw}^{ks}$ 与 $\mathrm{Sw}^{cc}$ 重合：$\mathrm{Sw}_X^{ks}(\mathcal{F}) = -\mathrm{Sw}_X^{cc}(\mathcal{F})$ 在 $CH_0(X)$ 中。
• 证明表明，野生分歧不变量在与特征标张量后保持不变，从而可约化到阶为 $p$ 的表示情形。
• 该结果证实了示性类在推前下的猜想相容性，并解决了曲面情形下Swan类定义等价性的问题。