[论文解读] Characteristic Classes and Integrable Systems for Simple Lie Groups

A. Levin, M. A. Olshanetsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 8被引用 23

一句话总结

本文为具有非平凡中心的单李群（包括经典群（A, B, C, D）和例外群（E6, E7））的椭圆修正Calogero-Moser系统构造了显式的Lax算符和哈密顿量。通过引入与非平凡特征类相关的特殊基，该研究推广了经典Calogero-Moser系统，并利用根系与权格数据揭示了可积结构，给出了基于Weierstrass椭圆函数的Lax矩阵与哈密顿量的显式公式。

ABSTRACT

This paper is a continuation of our previous paper \cite{LOSZ}. For simple complex Lie groups with non-trivial center, i.e. classical simply-connected groups, $E_6$ and $E_7$ we consider elliptic Modified Calogero-Moser systems corresponding to the Higgs bundles with an arbitrary characteristic class. These systems are generalization of the classical Calogero-Moser (CM) systems related to a simple Lie groups and contain CM systems related to some (unbroken) subalgebras. For all algebras we construct a special basis, corresponding to non-trivial characteristic classes, the explicit forms of Lax operators and Hamiltonians.

研究动机与目标

• 将经典Calogero-Moser系统推广至具有非平凡中心的单李群的椭圆可积系统。
• 为所有此类群（包括A_N, B_n, C_n, D_n, E6, 和 E7）构造显式的Lax算符与哈密顿量。
• 识别定义系统结构的未破缺李子代数与特征类。
• 利用根系、权格与与权格中非平凡元素相关的特殊基，建立统一框架。

提出的方法

• 论文利用扩展Dynkin图与基本余权λ_{N-1}的作用，定义SL(N,C)中的变换Λ，该变换生成中心μ_N。
• 通过λ在扩展根系上的作用，构造对应于非平凡特征类的特殊基，并确定由此产生的未破缺子代数结构。
• 对每个群，Lax算符L(z)由涉及Weierstrass椭圆函数E2与对偶Cartan生成元的函数φ^k_β(ũ,z)构建。
• 哈密顿量通过Lax矩阵的二次Casimir算子导出，利用生成元的标量积与在平移参数处取值的E2函数。
• 该方法依赖于权格P与根格Q的结构，其中商群P/Q同构于群的中心。
• 通过S-参数与E2函数，推导出L0′(z)、L1(z)以及哈密顿量H_{e7} = H^{CM}_{f4} + H′_0 + H_1的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造所有具有非平凡中心的单李群的椭圆修正Calogero-Moser系统？
• RQ2 特征类在定义Lax算符与哈密顿量结构中起什么作用？
• RQ3 未破缺子代数˜g0如何由非平凡余权的选择及其在根系上的作用产生？
• RQ4 E7的Lax算符与哈密顿量的显式形式是什么？其如何推广F4系统？
• RQ5 参数S_{a,±}^{R,+,0}, S_{a,±}^{L,+,0}等如何通过椭圆函数编码可积结构？

主要发现

• 对于SL(N,C)，变换Λ在标准基上实现为循环移位，并带有依赖于N的相位因子，且满足Λ^N = Id。
• 中心μ_N由ζ = exp(2πi/N)生成，该元素阻碍将PSL(N,C)-丛提升为SL(N,C)-丛。
• Lax算符L0′(z)由φ^0_β(ũ,z)与关联于根α_{(a,±)}^{(L,+)}, α_{(a,±)}^{(R,+)}及α_{1j} = e1 - ej（j=2,3,5）的生成元构成。
• 哈密顿量H_{e7}分解为三部分：F4型Calogero-Moser哈密顿量H^{CM}_{f4}，以及来自L0′与L1的贡献H′_0与H_1。
• 哈密顿量H′_0表示为S_{a,±}^{R,+,0}S_{-a,∓}^{R,+,0}项的和，其E2函数在⟨α_{(a,±)}^{(L,+)}, ũ⟩处取值。
• 哈密顿量H_1包含在平移参数处取值的E2函数项，如E2(⟨α_{(a,±)}^{(R)}, ū + 1/2⟩)，并显式包含来自α1, α2, e5及非对角项如S^{1}_{1,j}S^{1}_{j,1}的贡献。