[论文解读] Characteristic classes and stability conditions for projective Kleinian orbisurfaces

Bronson Lim, Franco Rota|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 2

一句话总结

本文通过引入 orbifold 版本的 Bogomolov–Gieseker 不等式并利用 Toën 的 Riemann–Roch 定理，在具有 ADE 奇点的光滑 Deligne–Mumford 曲面（即 Kleinian orbisurface）的导出范畴上构造了 Bridgeland 稳定性条件。关键结果是一个由复参数 w 和实参数 γ 参数化的稳定性条件族，该族通过 McKay 对应和 orbifold Chern 特征统一了光滑曲面与 Kleinian 奇点的构造。

ABSTRACT

We construct Bridgeland stability conditions on the derived category of smooth quasi-projective Deligne-Mumford surfaces whose coarse moduli spaces have ADE singularities. This unifies the construction for smooth surfaces and Bridgeland's work on Kleinian singularities. The construction hinges on an orbifold version of the Bogomolov-Gieseker inequality for slope semistable sheaves on the stack, and makes use of the To\"en-Hirzebruch-Riemann-Roch theorem.

研究动机与目标

• 通过 canonical stack 的导出范畴，统一光滑曲面与 Kleinian 奇点的 Bridgeland 稳定性条件。
• 通过 orbifold 判别式不变量，将 Bogomolov–Gieseker 不等式推广至堆栈上的斜率半稳定层。
• 定义一个包含 orbifold 上同调类与群作用带来的有理系数的中心电荷。
• 利用 orbifold 判别式在中心电荷核上的负定性，建立稳定性条件的支持性质。
• 通过稳定性条件之间的墙穿跃，将 Kleinian 奇点的最小解析化实现为稳定对象模空间之间的态射。

提出的方法

• 通过稳定子群的不可约表示分解残余胚下层的上推，定义 orbifold Chern 特征。
• 通过 McKay 对应 Φ: D(S) ≅ Db(Coh( ˜S)) 定义 orbifold 判别式 ∆orb(E) = ∆(Φ(E))。
• 构造中心电荷 Zw,γ(E) = −ch2(E) + w ch0(E) + γ·δ(E) + iH·ch1(E)，其中 δ(E) = ∑ aiTi，Ti 为依赖于群 G 的有理系数。
• 证明强化版的 Bogomolov–Gieseker 不等式：对 S 上任意 µH-半稳定的层 E，有 ∆orb(E) ≥ 0。
• 利用 ∆orb 在 Zw,γ 核上的负定性，验证稳定性条件的支持性质。
• 应用 Bridgeland 的变形定理，在中心电荷在 skyscraper 层上具有负实部的附近构造稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在具有 ADE 奇点的投影 orbisurface 的导出范畴上构造 Bridgeland 稳定性条件，从而统一光滑曲面与 Kleinian 奇点的情形？
• RQ2 Bogomolov–Gieseker 不等式如何推广至堆栈情形，特别是对堆栈上斜率半稳定层？
• RQ3 orbifold Chern 特征与 Toën 的 Riemann–Roch 定理在定义与稳定性兼容的中心电荷中起什么作用？
• RQ4 稳定性条件之间的墙穿跃如何将 Kleinian 奇点的最小解析化实现为模空间态射？
• RQ5 堆栈上的稳定性条件与 McKay 对应下的 quiver 稳定性之间存在何种关系？

主要发现

• 本文在具有 ADE 奇点的投影曲面的 canonical stack S 的导出范畴上，构造了由参数 w ∈ C 和 γ ∈ (0, 1/(N−1)) 参数化的稳定性条件族 (Zw,γ, Coh−Im w(S))，且满足两个实部不等式。
• 对 S 上所有 µH-半稳定的层 E，orbifold 判别式 ∆orb(E) 非负，将经典 Bogomolov–Gieseker 不等式推广至 orbifold 情形。
• 中心电荷 Zw,γ 通过函数 δ(E) = ∑ aiTi 引入 orbifold 上同调，其中 ai 为 ι∗E 按稳定子群不可约表示分解的系数。
• 类 [Ox] 的 σ∗-半稳定对象的模空间 Mσ∗([Ox]) 同构于粗模空间 S，而 Mσ0([Ox]) 同构于最小解析化 ˜S。
• 墙穿跃态射 Mσ0([Ox]) → Mσ∗([Ox]) 恰好是极小解析化映射，将解析化实现为例外除子的收缩。
• 稳定性条件 σ0 对应 quiver 表示理论中的通用稳定性参数，且该构造与 King 的 quiver 稳定性理论及文献 [7] 中的 Weyl 房间结构一致。