[论文解读] Characteristic classes in $TMF$ of level 3

Gerd Laures|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文计算了 $TMF_1(3)$ 关于 $BO$ 的 7-连通覆盖 $B\mathrm{String}$ 的上同调，表明其在完成之后由 $B\mathrm{Spin}$ 的陈类自由生成，并额外增加一个类。作为关键应用，它从 $L\mathrm{Spin}$ 的稳定正能表示构造了 $TMF_1(n)$ 上同调类，建立了表示理论与顶点模形式之间的联系。

ABSTRACT

We compute the $TMF_1(3)$ cohomology of the 7-connective cover $BString$ of $BO$. It turns out that it is freely generated by Pontryagin classes and another class when appropriately completed. The Pontryagin classes come from $BSpin$ and freely generate the $TMF_1(3)$ characteristic classes for $Spin$ bundles. As a first application we show how to construct $TMF_1(n)$ cohomology classes from stable positive energy representations of the loop groups $LSpin$.

研究动机与目标

• 计算 $BO$ 的 7-连通覆盖 $B\mathrm{String}$ 的 $TMF_1(3)$ 上同调。
• 确定 $\mathrm{String}$ 和 $\mathrm{Spin}$ 纤维丛在 $TMF_1(3)$ 中特征类的结构。
• 建立从 $L\mathrm{Spin}$ 的稳定正能表示构造 $TMF_1(n)$ 上同调类的方法。

提出的方法

• 使用基于 $TMF_1(3)$ 的上同调理论分析分类空间 $B\mathrm{String}$。
• 利用已知的 $B\mathrm{Spin}$ 的 $TMF_1(3)$-上同调，提取陈类作为生成元。
• 应用完成技术，识别出 $B\mathrm{String}$ 中超越陈类的额外生成元。
• 利用 $TMF_1(3)$-上同调环的结构，将特征类与环群表示联系起来。
• 通过 $L\mathrm{Spin}$ 的稳定正能表示构造 $TMF_1(n)$-类，建立表示理论与上同调之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 $TMF_1(3)$ 上同调在 $B\mathrm{String}$ 上的结构是什么，即 $BO$ 的 7-连通覆盖？
• RQ2 $B\mathrm{Spin}$ 中的陈类如何扩展为 $B\mathrm{String}$ 的 $TMF_1(3)$-上同调中的特征类？
• RQ3 在 $B\mathrm{String}$ 的完成 $TMF_1(3)$-上同调中，额外生成元起什么作用？
• RQ4 能否利用 $L\mathrm{Spin}$ 的稳定正能表示来构造 $TMF_1(n)$-上同调类？
• RQ5 这些构造如何与顶点模形式和特征类的更广泛框架相关联？

主要发现

• $B\mathrm{String}$ 的 $TMF_1(3)$ 上同调在完成之后，由 $B\mathrm{Spin}$ 的陈类和一个额外类自由生成。
• $B\mathrm{Spin}$ 的 $TMF_1(3)$ 上同调中的陈类自由生成了 $\mathrm{Spin}$ 纤维丛的特征类。
• $B\mathrm{String}$ 上同调中的额外类未被 $B\mathrm{Spin}$ 检测，表明其在 $TMF_1(3)$ 理论中是新的不变量。
• 从 $L\mathrm{Spin}$ 的稳定正能表示构造 $TMF_1(n)$-上同调类，为上同调类提供了新的几何来源。
• 该方法在环群表示理论与顶点模形式中的上同调之间建立了桥梁。