[论文解读] Characteristic classes of flat bundles and determinant of the Gauss-Manin connection

Hélène Esnault|ArXiv.org|Jun 13, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过代数微分特征类建立平坦丛的特征类框架，将其与高斯-曼因联络的行列式联系起来。证明了通过局部不变量和迹留数构造的 $\varepsilon$-线上的 $\varepsilon$-联络与高斯-曼因联络相容，从而给出了以局部 $\varepsilon$-因子表示上同调行列式的全局公式。

ABSTRACT

The purpose of this note is to give a survey on recent progress on characteristic classes of flat bundles, and how they behave in a family.

研究动机与目标

• 通过代数微分特征类发展平坦丛特征类的上同调框架。
• 通过乘积公式将高斯-曼因联络的行列式与局部 $\varepsilon$-因子联系起来。
• 构造一个与高斯-曼因联络相容的 $\varepsilon$-线上的联络。
• 将陈-切弗-西蒙斯微分特征类构造推广到代数与算术设定中。
• 统一代数、分析与 $\varepsilon$-因子方法在族中上同调行列式的处理。

提出的方法

• 使用环 $AD(X) = \oplus_n \mathbb{H}^n(X, \mathcal{K}_n^M \xrightarrow{d\log} \Omega_{X/k}^n \to \cdots \to \Omega_{X/k}^{2n-1})$ 定义带联络的平坦丛的特征类。
• 应用 $\mathcal{K}_n^M$ 的 Gersten 分辨率，将 $AD^n(X)$ 与 Chow 群及 de Rham 上同调联系起来。
• 通过 $\lambda_d$ 与 $\lambda_c$，利用奇点处的局部单值性，将 $\varepsilon$-线构造为离散与紧致行列式的乘积。
• 在 $\omega_{K((t))/K}^\times$ 上引入 $\varepsilon$-线上的相对联络，通过函子性与高斯-曼因联络相容。
• 推导出 $\varepsilon$-联络关于迹与留数的公式：$\varepsilon(\nabla, dt/t^m) = \mathrm{Tr} \mathrm{Res}_0 da a^{-1} A + \frac{m}{2} d\log \det(a(0))$。
• 使用格罗滕迪克的联络定义与可积提升方法，将相对联络提升为 $k$ 上的可积联络。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过微分特征类在代数设定下定义平坦丛的特征类，并将其推广到族中？
• RQ2 在高斯-曼因联络的背景下，上同调行列式与局部 $\varepsilon$-因子之间的精确关系是什么？
• RQ3 如何构造一个与高斯-曼因联络相容的 $\varepsilon$-线上的 $\varepsilon$-联络？
• RQ4 能否通过代数微分特征类将陈-切弗-西蒙斯微分特征类推广到代数与算术设定中？
• RQ5 代数 $\varepsilon$-因子构造与高阶秩中的极化弗雷德霍姆线方法有何关联？

主要发现

• 特征类 $c_n((E,\nabla)) \in AD^n(X)$ 是函子性、可加的，并映射到 Chow 群 $CH^n(X)$ 中的陈类 $c_n(E)$。
• 曲率评估 $d(c_n((E,\nabla)))$ 等于陈-外尔形式 $c_n(\nabla^2)$，从而将代数几何与微分几何联系起来。
• $c_n((E,\nabla))$ 在一般点上的限制给出了 $H^0(X, \Omega_{X/k}^{2n-1}/d\Omega_{X/k}^{2n-2})$ 中的代数陈-西蒙斯不变量。
• 当 $k \subset \mathbb{C}$ 时，其在 $D^n(X)$ 中的像 $\iota(c_n((E,\nabla)))$ 对应于微分特征类 $c_n(E_{\mathrm{an}}^{\nabla}) \in H^{2n-1}(X_{\mathrm{an}}, \mathbb{C}/\mathbb{Z}(n))$。
• $\varepsilon$-线上的 $\varepsilon$-联络由公式 $\varepsilon(\nabla, dt/t^m) = \mathrm{Tr} \mathrm{Res}_0 da a^{-1} A + \frac{m}{2} d\log \det(a(0))$ 给出，该公式涉及迹与留数。
• 乘积公式 $\det H^\ast(X/K, E_{\mathrm{min}}) = \otimes_{x \in \bar{X} \setminus X} \varepsilon_x(\nabla_{K((t))/K, \nu})$ 成立，其中 $\varepsilon_x$ 通过局部不变量定义。