[论文解读] Characteristic Classes of Hypersurfaces and Characteristic Cycles

Adam Parusiński, Piotr Pragacz|ArXiv.org|Jan 21, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 89

一句话总结

本文提出了一种新的关于复流形中超曲面的陈-施瓦茨-麦考菲森类的公式，采用两种方法：通过Sabbah理论的特征循环和Verdier的专门化性质。关键结果推广了Aluffi的公式，并将Milnor类表示为关于分层的和，涉及局部陈类和爆破数据。

ABSTRACT

We give a new formula for the Chern-Schwartz-MacPherson class of a hypersurface in a nonsigular compact complex analytic variety. In particular this formula generalizes our previous result on the Euler characteristic of such a hypersurface. Two different approaches are presented. The first is based on the theory of characteristic cycle and the works of Sabbah, Briancon-Maisonobe-Merle, and Le-Mebkhout. In particular, this approach leads to a simple proof of a formula of Aluffi for the above mentioned class. The second approach uses Verdier's specialization property of the Chern-Schwartz-MacPherson classes. Some related new formulas are also given.

研究动机与目标

• 将超曲面的陈-施瓦茨-麦考菲森类的公式从欧拉示性数情形推广至更一般情形。
• 通过特征循环和专门化，提供一个统一的框架，用于计算Milnor类。
• 通过Verdier的专门化性质，解决Yokura关于射影情形下Milnor类的猜想。
• 利用奇点子概形的全局爆破数据，为Aluffi的公式提供一种新的、简化的证明。
• 推导出与Milnor纤维相关的构造函数χ和μ的CSM类的新公式。

提出的方法

• 利用Sabbah的特征循环理论，将超曲面的CSM类表示为由雅可比理想定义的奇点子概形的全局爆破形式。
• 应用[B-M-M]和[L-M]中的特征循环公式，将超曲面的局部几何与全局拓扑不变量联系起来。
• 利用Verdier的CSM类专门化性质，通过专门化映射将光滑纤维的类与奇异纤维的类联系起来。
• 通过Möbius型公式 α(S) = μ_S − ∑_{S′≠S, S⊂cl(S′)} α(S′) 在Whitney分层上归纳构造系数 α(S)。
• 应用Nash爆破和对偶陈-马瑟类形式系统，将CSM类表示为射影法丛和典范线丛的形式。
• 结合专门化映射 σ_H 与包含映射 i_{S,Z} 沿着的CSM类的推出，推导出Milnor类的分解式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用其奇点集和分层结构来表达超曲面的陈-施瓦茨-麦考菲森类？
• RQ2 Milnor类与超曲面的特征循环之间有何关系？
• RQ3 Verdier的专门化性质能否用于推导出Aluffi的CSM类公式的新的证明？
• RQ4 Milnor类分解中的系数 α(S) 如何与Milnor数和分层数据相关联？
• RQ5 与Milnor纤维相关的构造函数 μ 的CSM类的精确结构是什么？

主要发现

• 超曲面 Z 的Milnor类由公式 M(Z) = ∑_{S∈S} α(S) ⋅ c(L|Z)^{-1} ∩ (i_{S,Z})_* c_*(S) 给出，其中 α(S) 是在Whitney分层上归纳定义的系数。
• 专门化方法在射影情形下直接证明了定理0.2，证实了Yokura的猜想。
• 本文利用奇点子概形的全局爆破数据，为超曲面的CSM类的Aluffi公式提供了新的、简化的证明。
• 证明了Milnor类支撑于 Z 的奇点集上，且当奇点集有限时，其次数恢复为所有Milnor数之和。
• 专门化映射 σ_H 满足 σ_H(c_*(Z_t)) = c_*(Z) + (-1)^{n-1} ∑_S α(S) [ (i_{S,Z})_* c_*(S) − (i_{S∩Z',Z})_* c_*(S∩Z') ]，从而导出Milnor类公式。
• 函数 μ 的CSM类公式被推导为 c_*(μ) = ∑_S α(S) (i_{S,Z})_* c_*(S)，将拓扑不变量与分层数据联系起来。