[论文解读] Characteristic classes of transitive Lie algebroids. Categorical point of view

A. S. Mishchenko|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 9

一句话总结

本文为具有固定有限维李代数结构 ${\mathfrak{g}}$ 的传递李代数丛建立了一个范畴论与同伦论框架，构造了一个分类空间 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$，该空间通过映射的同伦类对这类代数丛进行分类。它将传递李代数丛的示性类识别为 ${\cal B}_{\mathfrak{g}} \simeq F({\mathfrak{g}}) \times K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$ 的上同调，将陈-韦伊同态与同伦论分类统一起来。

ABSTRACT

The talk was done at the International Conference "Analysis, Topology and Applications", Harbin, China, 23.08.2011. Transitive Lie algebroids have specific properties that allow to look at the transitive Lie algebroid as an element of the object of a homotopy functor. Roughly speaking each transitive Lie algebroids can be described as a vector bundle over the tangent bundle of the manifold which is endowed with additional structures. Therefore transitive Lie algebroids admits a construction of inverse image generated by a smooth mapping of smooth manifolds. The intention of my talk is to use a homotopy classification of transitive Lie algebroids due to K.Mackenzie (2005) and on this basis to construct a classifying space. The realization of the intention allows to describe characteristic classes of transitive Lie algebroids form the point of view a natural transformation of functors similar to the classical abstract characteristic classes for vector bundles and to compare them with that derived from the Chern-Weil homomorphism by J.Kubarski (1991).

研究动机与目标

• 开发具有固定结构李代数 ${\mathfrak{g}}$ 的传递李代数丛的同伦论分类方法。
• 基于麦克肯齐的同伦分类框架，构造传递李代数丛的分类空间 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$。
• 将传递李代数丛的示性类解释为分类空间 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ 上同调群的元素。
• 比较由陈-韦伊同态导出的示性类与由同伦分类导出的示性类。
• 将经典陈-韦伊方法与李代数丛理论中示性类的范畴化、函子化视角统一起来。

提出的方法

• 将传递李代数丛定义为纤维为 ${\mathfrak{g}}$ 的向量丛 $E \to TM$，并配备满足反对称性、雅可比恒等式与莱布尼茨法则的李括号。
• 利用拉回函子 $f^{!!}$ 定义从光滑流形到传递李代数丛的同伦函子 ${\cal T}{\cal L}{\cal A}_{\mathfrak{g}}$。
• 将分类空间 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ 构造为函子 ${\cal T}{\cal L}{\cal A}_{\mathfrak{g}}$ 的同伦上积或分类对象。
• 识别出 ${\cal B}_{\mathfrak{g}} \simeq F({\mathfrak{g}}) \times K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$，其中 $F({\mathfrak{g}})$ 是 ${\mathfrak{g}}$-联络的空间，$K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$ 是一个埃伦伯格-麦克莱恩空间。
• 应用陈-韦伊同态 $h_{\cal A}: \bigoplus (\Gamma \bigwedge L^*)^I \to {\cal H}^*(M, {\cal A})$，将不变多项式与示性类关联起来。
• 在函子 ${\cal T}{\cal L}{\cal A}_{\mathfrak{g}}$ 与上同调函子 $[-, {\cal B}_{\mathfrak{g}}]$ 之间建立自然变换，从而将示性类表示为 ${\cal H}^*({\cal B}_{\mathfrak{g}})$ 中的元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用同伦论方法对具有固定李代数 ${\mathfrak{g}}$ 的传递李代数丛进行同构分类？
• RQ2 参数化流形上传递李代数丛的分类空间 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ 的结构是什么？
• RQ3 在这一同伦论框架下，传递李代数丛的示性类如何与陈-韦伊同态相关联？
• RQ4 陈-韦伊构造能否在传递李代数丛的背景下被解释为函子之间的自然变换？
• RQ5 分类空间 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ 的上同调结构是什么？它如何编码示性类？

主要发现

• 具有结构代数 ${\mathfrak{g}}$ 的传递李代数丛的分类空间 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ 同伦等价于 $F({\mathfrak{g}}) \times K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$，其中 $F({\mathfrak{g}})$ 是 ${\mathfrak{g}}$-联络的空间，$K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$ 是一个埃伦伯格-麦克莱恩空间。
• 流形 $M$ 上传递李代数丛的示性类族同构于上同调环 ${\cal H}^*({\cal B}_{\mathfrak{g}})$，即 ${\cal H}^*(F({\mathfrak{g}}) \times K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2))$。
• 传递李代数丛的陈-韦伊同态与拉回运算可交换，确保其自然性与与分类空间构造的一致性。
• 由陈-韦伊同态导出的示性类被识别为自然变换 $[M, {\cal B}_{\mathfrak{g}}] \to {\cal H}^*(M, {\cal A})$ 的像。
• ${\cal H}^2({\cal A}, \rho^T, ZL)$ 在耦合映射 $Coupling(T)$ 的纤维上的作用当障碍 $\mbox{Obs}(T) = 0$ 时是自由且传递的，证实了分类的一致性。
• 该构造为示性类提供了范畴论解释，即作为通用空间上同调群的元素，推广了向量丛的经典理论。