[论文解读] Characteristic foliation of twisted Jacobi manifolds

Joana M. Nunes da Costa, Fani Petalidou|ArXiv.org|Dec 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究了扭曲杰可比流形的特征叶层结构，证明每个叶均继承一个传递的扭曲杰可比结构。对于传递的扭曲杰可比流形，叶层分解为叶为扭曲接触（奇数维）或扭曲局部共形辛（偶数维）的结构，推广了扭曲泊松几何中的结构。

ABSTRACT

We study the characteristic foliation of a twisted Jacobi manifold. We show that a twisted Jacobi manifold is foliated into leaves that are, according to the parity of the dimension, endowed with a twisted contact or a twisted locally conformal symplectic structure.

研究动机与目标

• 理解扭曲杰可比流形中特征叶层结构的几何性质。
• 根据流形的维数，确定在特征叶上诱导出的扭曲几何结构（接触或局部共形辛）的类型。
• 建立扭曲杰可比流形的每个特征叶均携带一个传递的扭曲杰可比结构。
• 将扭曲泊松几何中的结果推广到更广泛的扭曲杰可比结构类别。
• 通过叶层结构阐明扭曲杰可比流形与扭曲接触或扭曲局部共形辛结构之间的关系。

提出的方法

• 使用与扭曲杰可比结构 $((\Lambda,E),\omega)$ 相关的 $T^*M \times \mathbb{R}$ 上的李代数胚结构，其锚映射为 $\pi \circ (\Lambda,E)^\#$。
• 将特征分布定义为锚映射的像，该分布完全可积，从而在 $M$ 上诱导出一个叶层结构。
• 应用由1-上循环修正的舒滕括号形式，通过方程 (1)、(2) 和 (3) 表达扭曲杰可比条件。
• 在特征叶上构造局部适配坐标，以提升函数并定义每个叶上的诱导括号 $\{\cdot,\cdot\}_S$。
• 利用双向量场 $\Lambda^\#$ 的逆定义2-形式 $\Theta$，并通过 $\Theta = d\vartheta + \omega$ 将其与 $\omega$ 和 $\vartheta$ 关联（在接触情形下）。
• 分析 $\Lambda^\#$ 的秩以及 $E$ 相对于 $\mathrm{Im}(\Lambda^\#)$ 的位置，以区分偶数维与奇数维情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 扭曲杰可比流形的特征叶层如何将流形分解为几何上有意义的子流形？
• RQ2 根据流形的维数，每个特征叶上诱导出的扭曲几何结构（接触或局部共形辛）的类型是什么？
• RQ3 在 $C^\infty(M,\mathbb{R})$ 上的括号 $\{f,g\}$ 是否能下降为每个特征叶上的良好定义的扭曲杰可比结构？
• RQ4 在传递情形下，扭曲杰可比结构能否整体表征为源自扭曲接触或扭曲局部共形辛结构？
• RQ5 2-形式 $\omega$ 在决定叶上结构类型的方面起什么作用？

主要发现

• 扭曲杰可比流形的特征叶层完全可积，且由锚映射 $\pi \circ (\Lambda,E)^\#$ 的像诱导。
• 在传递情形下，若 $\dim M$ 为偶数，则扭曲杰可比结构源自一个满足 $d\vartheta = 0$ 且 $d(\Theta - \omega) + \vartheta \wedge (\Theta - \omega) = 0$ 的扭曲局部共形辛结构。
• 在传递情形下，若 $\dim M$ 为奇数，则扭曲杰可比结构源自一个满足 $\Theta = d\vartheta + \omega$、$i(E)\Theta = 0$ 且 $\vartheta \wedge \Theta^n \neq 0$ 的扭曲接触结构。
• 每个特征叶 $S$ 通过诱导括号 $\{\tilde{f},\tilde{g}\}_S = \{f,g\}(x,0)$ 继承一个传递的扭曲杰可比结构，其良好定义性源于沿积分曲线的不变性。
• 每个叶上的诱导结构是传递的，即其关联双向量场在叶上的秩达到该维数下的最大值。
• 叶层将流形分解为叶，这些叶根据 $\dim M$ 的奇偶性，要么是扭曲接触（奇数维），要么是扭曲局部共形辛（偶数维）。