[论文解读] Characteristic foliation on non-uniruled smooth divisors on projective hyperkaehler manifolds

Amerik Ekaterina, F. Campana|arXiv (Cornell University)|May 2, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 7

一句话总结

该论文证明，在射影超凯勒流形 $ X $ 中，若非单有理化光滑除子 $ D $ 上的特征叶状结构 $ F $ 为代数叶状结构，则其叶必为有理曲线，或 $ X $ 为曲面。关键洞见在于，叶族的轨道化基的 canonical 线丛必须为挠类，从而推出叶族的等参性，进而在 $ F $ 为代数叶状结构且叶非有理曲线时，对 $ X $ 和 $ D $ 的结构施加了限制。

ABSTRACT

We prove that the characteristic foliation $F$ on a non-singular divisor $D$ in an irreducible projective hyperkaehler manifold $X$ cannot be algebraic, unless the leaves of $F$ are rational curves or $X$ is a surface. More generally, we show that if $X$ is an arbitrary projective manifold carrying a holomorphic symplectic $2$-form, and $D$ and $F$ are as above, then $F$ can be algebraic with non-rational leaves only when, up to a finite \'etale cover, $X$ is the product of a symplectic projective manifold $Y$ with a symplectic surface and $D$ is the pull-back of a curve on this surface. When $D$ is of general type, the fact that $F$ cannot be algebraic unless $X$ is a surface was proved by Hwang and Viehweg. The main new ingredient for our results is the observation that the canonical bundle of the orbifold base of the family of leaves must be torsion. This implies, in particular, the isotriviality of the family of leaves of $F$.

研究动机与目标

• 确定射影超凯勒流形 $ X $ 中光滑除子 $ D $ 上的特征叶状结构 $ F $ 何时可为代数叶状结构。
• 将 Hwang 与 Viehweg 对一般型除子的结果推广至更广泛的非单有理化除子类。
• 当 $ F $ 为代数叶状结构且叶非有理曲线时，刻画 $ X $ 与 $ D $ 的结构。
• 确立叶族的轨道化基的 canonical 线丛必为挠类，从而推出等参性。

提出的方法

• 分析射影流形 $ X $ 中具有全纯辛 2-形式的光滑除子 $ D $ 上诱导的特征叶状结构 $ F $。
• 研究 $ F $ 的叶族及其轨道化基，重点关注该基的 canonical 线丛。
• 证明轨道化基的 canonical 线丛为挠类，从而强制叶族为等参族。
• 利用叶族的等参性约束 $ X $ 与 $ D $ 的整体几何结构。
• 应用形变理论与双有理几何技巧，对 $ F $ 为代数叶状结构且叶非有理曲线的情形进行分类。
• 将一般情形约化至有限 étale 覆盖，证明 $ X $ 必为辛流形 $ Y $、辛曲面与 $ D $ 为该曲面上曲线的拉回的乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，射影超凯勒流形 $ X $ 中光滑除子 $ D $ 上的特征叶状结构 $ F $ 可为代数叶状结构？
• RQ2 当 $ F $ 为代数叶状结构且叶非有理曲线时，对 $ X $ 与 $ D $ 的结构会产生何种约束？
• RQ3 叶族的轨道化基的 canonical 线丛如何影响 $ F $ 的几何结构？
• RQ4 叶族的等参性在多大程度上限制了 $ X $ 的整体结构？
• RQ5 能否将代数特征叶状结构的分类推广至一般型除子的情形之外？

主要发现

• 在射影超凯勒流形 $ X $ 中，若非单有理化光滑除子 $ D $ 上的特征叶状结构 $ F $ 为代数叶状结构，则其叶必为有理曲线，或 $ X $ 为曲面。
• 当 $ F $ 为代数叶状结构且叶非有理曲线时，经有限 étale 覆盖后，$ X $ 必为辛射影流形 $ Y $、辛曲面与 $ D $ 为该曲面上曲线的拉回的乘积。
• 叶族的轨道化基的 canonical 线丛必为挠类，从而推出叶族为等参族。
• 此等参性对叶的模空间施加了强约束，并导致对 $ X $ 与 $ D $ 可能几何结构的分类。
• 该结果将 Hwang 与 Viehweg 对一般型除子的早期结果推广至更广泛的非单有理化除子类。
• 轨道化基 canonical 线丛的挠类性是本情境下实现代数叶状结构分类的关键新要素。