[论文解读] Characteristic matrix of covering and its application to boolean matrix decomposition and axiomatization

Shiping Wang, Qingxin Zhu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 27被引用 15

一句话总结

本文通过引入覆盖的特征矩阵，提出两种类型，利用布尔矩阵表示三类覆盖近似算子。建立了将布尔矩阵分解为另一矩阵与其转置的布尔积的充分必要条件，从而实现基于矩阵的覆盖粗糙集的新公理化体系，并支持算法实现。

ABSTRACT

Covering is an important type of data structure while covering-based rough sets provide an efficient and systematic theory to deal with covering data. In this paper, we use boolean matrices to represent and axiomatize three types of covering approximation operators. First, we define two types of characteristic matrices of a covering which are essentially square boolean ones, and their properties are studied. Through the characteristic matrices, three important types of covering approximation operators are concisely equivalently represented. Second, matrix representations of covering approximation operators are used in boolean matrix decomposition. We provide a sufficient and necessary condition for a square boolean matrix to decompose into the boolean product of another one and its transpose. And we develop an algorithm for this boolean matrix decomposition. Finally, based on the above results, these three types of covering approximation operators are axiomatized using boolean matrices. In a word, this work borrows extensively from boolean matrices and present a new view to study covering-based rough sets.

研究动机与目标

• 通过引入特征矩阵，将覆盖粗糙集理论与布尔矩阵分解相连接。
• 利用布尔矩阵，实现对三类覆盖近似算子（第二、第五、第六类）的矩阵表示。
• 推导出将一个方阵布尔矩阵分解为矩阵与其转置的布尔积的充分必要条件。
• 基于推导出的条件，设计布尔矩阵分解的算法。
• 利用布尔矩阵性质，对三类覆盖近似算子进行公理化。

提出的方法

• 从覆盖 C 定义两种特征矩阵（M_C 和 Gamma(C)），以表示覆盖近似算子。
• 利用特征矩阵，将第二、第五和第六类的上、下近似算子表示为布尔矩阵运算。
• 建立一个方阵布尔矩阵 A 可分解为 B · B^T 的充分必要条件，要求 A^T = A 且对所有 i 满足 A_ii = 1。
• 设计一种算法，通过寻找满足 A = B · B^T 的最小布尔矩阵 B，实现该分解。
• 利用矩阵分解条件，通过布尔矩阵性质对三类覆盖近似算子进行公理化。
• 利用关系矩阵的对应关系：第二类算子对应自反且对称的关系，第五和第六类算子对应自反且传递的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过特征矩阵，利用布尔矩阵等价表示覆盖近似算子？
• RQ2 一个方阵布尔矩阵可分解为矩阵与其转置的布尔积的充分必要条件是什么？
• RQ3 如何设计一种算法来计算此类分解？
• RQ4 能否利用布尔矩阵分解对三类覆盖近似算子进行公理化？
• RQ5 通过矩阵表示，覆盖粗糙集与基于关系的广义粗糙集之间存在何种关系？

主要发现

• 第二类上近似算子 SH_C 等价于满足 A^T = A 且对所有 i 有 A_ii = 1 的布尔矩阵 A。
• 第五类上近似算子 IH_C 对应满足 A^2 = A 且对所有 i 有 A_ii = 1 的布尔矩阵 A。
• 第六类上近似算子 XH_C 由布尔矩阵 A = B · B^T 表征，其中 B^2 = B 且对所有 i 有 B_ii = 1。
• 布尔矩阵分解 A = B · B^T 的充分必要条件是：A 为对称矩阵且所有对角线元素均为 1。
• 分解算法基于寻找满足 A = B · B^T 的最小布尔矩阵 B，确保算法的正确性与完备性。
• 三类近似算子的公理化通过布尔矩阵性质实现，使其与自反对称或自反传递关系建立联系。