[论文解读] Characteristic numbers of crepant resolutions of Weierstrass models

Mboyo Esole, Monica Jinwoo Kang|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用 10

一句话总结

本文计算了F理论紧化中Weierstrass模型的Crepant解析的特征数——如陈数和庞特里亚金数、$\hat{A}$-亏格、Todd亏格、$L$-亏格以及曲率不变量$X_8$。证明了这些不变量是$K$-等价不变量，即它们与Crepant解析的选择无关，并利用上推导技术与奇点的修正项，为具有规范群$G = \mathrm{SU}(n)$、$\mathrm{USp}(4)$、$\mathrm{Spin}(7)$、$\mathrm{Spin}(8)$、$\mathrm{Spin}(10)$、$G_2$、$F_4$、$E_6$、$E_7$、$E_8$的$G$-模型推导出显式公式。

ABSTRACT

We compute characteristic numbers of crepant resolutions of Weierstrass models corresponding to elliptically fibered fourfolds $Y$ dual in F-theory to a gauge theory with gauge group $G$. In contrast to the case of fivefolds, Chern and Pontryagin numbers of fourfolds are invariant under crepant birational maps. It follows that Chern and Pontryagin numbers are independent on a choice of a crepant resolution. We present the results for the Euler characteristic, the holomorphic genera, the Todd-genus, the $L$-genus, the $\hat{A}$-genus, and the curvature invariant $X_8$ that appears in M-theory. We also show that certain characteristic classes are independent on the choice of the Kodaria fiber characterizing the group $G$. That is the case of $\int_Y c_1^2 c_2$, the arithmetic genus, and the $\hat{A}$-genus. Thus, it is enough to know $\int_Y c_2^2$ and the Euler characteristic $χ(Y)$ to determine all the Chern numbers of an elliptically fibered fourfold. We consider the cases of $G=$ SU($n$) for ($n=2,3,4,5,6,7$), USp($4$), Spin($7$), Spin($8$), Spin($10$), G$_2$, F$_4$, E$_6$, E$_7$, or E$_8$.

研究动机与目标

• 计算F理论中Weierstrass模型的Crepant解析的特征数，如陈数和庞特里亚金数、$\hat{A}$-亏格、Todd亏格、$L$-亏格以及曲率不变量$X_8$。
• 证明这些特征数是$K$-等价不变量，即它们与Crepant解析的选择无关，这与高维情形下的一般预期相反。
• 以基空间几何与基本线丛$\mathscr{L}$表示这些不变量的显式公式，并对支持在除子$S$上的奇点进行修正。
• 通过证明$\varphi_*c(Y)$与$\varphi_*\mathrm{Td}(Y)$的上推公式有效性，解决先前文献中的歧义，并纠正早期推导中$\varphi_*c(Y)$与$\varphi_*\mathrm{Td}(Y)$的错误。
• 表明某些不变量——如$\int_Y c_1^2 c_2$、$\hat{A}$-亏格与Todd亏格——与Kodaira纤维类型无关，仅依赖于基空间与$\mathscr{L}$，从而减少了所需输入的数量。

提出的方法

• 本文使用代数几何中的上推导技术，计算椭圆纤维四fold的特征类，特别关注Crepant解析对陈类与庞特里亚金类的影响。
• 应用格罗滕迪克在查沃环中的陈类公理框架，并利用射影丛公式，计算椭圆纤维化下$ c_2(TY) $与$ p_1(TY) $的上推。
• 该方法通过爆破序列校正陈类，以考虑Weierstrass模型中的奇点，其显式贡献集中于支持Kodaira纤维的除子$S$上。
• 通过公式$\int_Y p_1(TY) \cdot \varphi^*\beta = \int_B (c_1 - L)^2 \beta - 24 \int_B L \cdot \beta$（对$\beta \in A^*(B)$成立）推导出第一庞特里亚金类的上推，该公式适用于$G$-模型。
• 通过识别[44]中在总陈类与Todd类上推中的错误，验证并修正了早期公式，并完整证明了$\varphi_*\mathrm{Td}(Y) = (1 - e^{-L})\mathrm{Td}(B)$。
• 显式计算了所有$G$-模型的$X_8(Y)$，并确认与[44]在重叠情形下一致，同时表明$\int_Y c_2^2$与$\int_Y p_1^2$依赖于纤维类型，与其他不变量不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 四fold的陈数与庞特里亚金数是否在Crepant双有理映射下保持不变，尽管在高维情形下该性质通常不成立？
• RQ2 G-模型的特征数在多大程度上依赖于Kodaira纤维类型或所用特定解析的选择？
• RQ3 是否可以为所有$G$-模型统一计算$ c_2(TY) $与$ p_1(TY) $的上推，而与规范群$G$无关？
• RQ4 奇点（支持在$S$上）对特征数如$\int_Y c_1^2 c_2$与$\int_Y c_2^2$的精确贡献是什么？
• RQ5 结果如何与文献中关于$\varphi_*c(Y)$与$\varphi_*\mathrm{Td}(Y)$的矛盾公式调和？

主要发现

• 四fold的陈数与庞特里亚金数是$K$-等价不变量，即它们与Crepant解析的选择无关，这一结果在一般高维代数簇中并不成立。
• 不变量$\int_Y c_1^2 c_2$、$\hat{A}$-亏格与Todd亏格与Kodaira纤维类型无关，仅依赖于基空间与基本线丛$\mathscr{L}$，而不依赖于奇点纤维结构。
• 曲率不变量$X_8(Y)$已显式计算出所有$G$-模型，并与[44]在重叠情形下一致，确认了结果的一致性。
• 第一庞特里亚金类的上推公式为$\int_Y p_1(TY) \cdot \varphi^*\beta = \int_B (c_1 - L)^2 \beta - 24 \int_B L \cdot \beta$，该公式与纤维类型无关，且对所有考虑的$G$-模型均成立。
• $\varphi_*c(Y) = \frac{12L}{1+L}c(B)$的公式在光滑Weierstrass模型下成立，但在存在奇点的$G$-模型中不成立，从而否定了[44]中该公式可普遍推广的假设。
• 欧拉示性数$\chi(Y)$一般不是12的倍数，这与错误公式$\chi(Y) = 12 \int_B L(1+\cdots)c(B)$的推论相矛盾，本文为SU(2)-模型提供了反例。