[论文解读] Characteristic numbers of elliptic fibrations with non-trivial Mordell-Weil groups

Mboyo Esole, Monica Jinwoo Kang|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用 11

一句话总结

本文计算了具有非平凡Mordell-Weil群的椭圆纤维化四fold的特征数——如陈类、庞特里亚金类和Todd类，扩展了此前对Mordell-Weil群为平凡的卡拉比-丘四fold的研究。通过使用pushforward定理处理Crepant解析与双有理不变量，本文推导出$G$-模型在$G = \text{SO}(n)$（$n=3,4,5,6$）和$\text{PSU}(3)$，以及$Q_7$-模型和$E_{9-d}$模型下的显式公式。

ABSTRACT

We compute characteristic numbers of elliptically fibered fourfolds with multisections or non-trivial Mordell-Weil groups. We first consider the models of type E$_{9-d}$ with $d=1,2,3,4$ whose generic fibers are normal elliptic curves of degree $d$. We then analyze the characteristic numbers of the $Q_7$-model, which provides a smooth model for elliptic fibrations of rank one and generalizes the E$_5$, E$_6$, and E$_7$-models. Finally, we examine the characteristic numbers of $G$-models with $G= ext{SO}(n)$ with $n=3,4,5,6$ and $G= ext{PSU}(3)$ whose Mordell-Weil groups are respectively $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}$. In each case, we compute the Chern and Pontryagin numbers, the Euler characteristic, the holomorphic genera, the Todd-genus, the L-genus, the A-genus, and the eight-form curvature invariant from M-theory.

研究动机与目标

• 将特征数（如陈类与庞特里亚金类、欧拉示性数与Todd亏格）的计算从Mordell-Weil群为平凡的情况，推广至Mordell-Weil群非平凡的椭圆纤维化四fold。
• 系统计算具有非平凡Mordell-Weil群的$G$-模型的拓扑不变量，包括$\text{SO}(n)$（$n=3,4,5,6$）与$\text{PSU}(3)$，其Mordell-Weil群分别为$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$与$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。
• 分析$Q_7$-模型，即秩一椭圆纤维化的光滑解析，推广早期的$E_5$、$E_6$与$E_7$模型，并计算其特征数。
• 包含$E_{9-d}$型模型（$d=1,2,3,4,5$），其一般纤维为度数$d$的亏格一正常曲线，并计算其特征不变量。
• 提供一组在Crempant双有理映射下保持不变的特征数公式，使同一Weierstrass模型的不同解析之间可进行比较。

提出的方法

• 利用关于光滑完全交中心的爆破的新pushforward定理，简化Crempant解析情境下的交比环计算。
• 应用pushforward技术，通过Tate算法解析奇异Weierstrass模型，计算具有非平凡Mordell-Weil群的$G$-模型的特征数，包括$\text{SO}(n)$与$\text{PSU}(3)$。
• 以基空间的陈类$c_1, c_2$与线丛类$L = c_1(\mathscr{L})$表示陈类与庞特里亚金类、欧拉示性数、全纯亏格、Todd亏格、$L$-亏格、$\hat{A}$-亏格以及八形式曲率不变量$X_8$的显式表达式。
• 将$Q_7$-模型视为Morrison-Park模型的光滑解析，推广$E_5$、$E_6$与$E_7$模型，并通过相同的pushforward机制计算其特征数。
• 分析$d=1,2,3,4,5$的$E_{9-d}$模型，其中一般纤维为度数$d$的亏格一正常曲线，并使用相同框架计算其特征数。
• 在$\text{SO}(4)$-模型中，显式包含支持于类$T$与$S = 4L - T$的除子上的可约Kodaira纤维所导致的校正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非平凡Mordell-Weil群的椭圆纤维化，特征数（如陈类与庞特里亚金类）在Crempant双有理映射下的行为如何？
• RQ2 对于$G = \text{SO}(n)$与$\text{PSU}(3)$的$G$-模型，欧拉示性数、全纯亏格、Todd亏格、$L$-亏格、$\hat{A}$-亏格与异常不变量$X_8$的显式公式为何？
• RQ3 $Q_7$-模型（秩一椭圆纤维化的光滑解析）的特征数与$E_5$、$E_6$、$E_7$模型的特征数相比有何异同？
• RQ4 在$\text{SO}(4)$-模型中，支持于除子$T$与$S = 4L - T$上的可约Kodaira纤维会引入何种校正项？
• RQ5 $d=1,2,3,4,5$的$E_{9-d}$模型的特征数如何依赖于基空间的陈类与线丛类$L$？

主要发现

• 对于$\text{SO}(3)$-模型，欧拉示性数为$\int_Y c_4 = 24L(-c_1^2 + 2c_2 + 15L^2)$，全纯亏格为$\int_Y p_2 = 48L(-c_1^2 + 2c_2 + 5L^2)$，且$X_8 = 48L(c_1^2 - 2c_2 - 25L^2)$。
• 对于$\text{PSU}(3)$-模型，全纯亏格为$\int_Y p_2 = 48L(-c_1^2 + 2c_2 + 3L^2)$，异常不变量为$X_8 = 48L(c_1^2 - 2c_2 - 13L^2)$。
• 在$\text{SO}(4)$-模型中，支持于除子$T$与$S = 4L - T$的可约纤维引入校正项：$X_8$包含$+192LT(4L - T)$，$\sigma$包含$-360LT(4L - T)$。
• 对于$\text{SO}(5)$-模型，庞特里亚金数$\int_Y p_1^2 = 8L(-3c_1^2 + 6c_2 + 17L^2)$，异常不变量$X_8 = -48L(-c_1^2 + 2c_2 + 9L^2)$。
• $Q_7$-模型的特征数推广了$E_5$、$E_6$与$E_7$模型的特征数，其显式表达式以$c_1$、$c_2$与$L$表示。
• $d=1,2,3,4,5$的$E_{9-d}$模型的特征数以$c_1$、$c_2$与$L$的有理函数形式表示，其中$E_5$模型（$d=4$）是$Q_7$-模型的一个特例。