[论文解读] Characteristic polynomials of modified permutation matrices at microscopic scale

Valentin Bahier|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了随机置换矩阵及其变体在微观尺度下的特征多项式，其中1-元素被单位圆上的独立同分布变量取代。在Ewens测度下并经过适当的归一化，重标度后的特征多项式几乎必然收敛到一个显式的整函数，将圆酉系综（CUE）的结果扩展至基于置换的随机矩阵，并采用受虚拟等距启发的耦合方法。

ABSTRACT

We study the characteristic polynomial of random permutation matrices following some measures which are invariant by conjugation, including Ewens' measures which are one-parameter deformations of the uniform distribution on the permutation group. We also look at some modifications of permutation matrices where the entries equal to one are replaced by i.i.d uniform variables on the unit circle. Once appropriately normalized and scaled, we show that the characteristic polynomial converges in distribution on every compact subset of $\\mathbb{C}$ to an explicit limiting entire function, when the size of the matrices goes to infinity. Our findings can be related to results by Chhaibi, Najnudel and Nikeghbali on the limiting characteristic polynomial of the Circular Unitary Ensemble.

研究动机与目标

• 分析在共轭不变测度（包括Ewens测度）下，随机置换矩阵特征多项式的渐近行为。
• 通过研究其特征多项式的微观尺度，将圆酉系综（CUE）的结果推广到置换矩阵。
• 通过一种新颖的耦合方法，建立重标度后特征多项式几乎必然收敛到极限整函数。
• 将极限行为推广到使用独立同分布的单位圆上元素替代1的修改置换矩阵。
• 根据循环长度和单位圆上独立同分布的随机变量，刻画极限整函数的生长与解析性质。

提出的方法

• 引入一种耦合方法，利用单位圆上的独立同分布均匀变量生成虚拟置换和修改置换的序列。
• 定义重标度后的特征多项式 $ \tilde{\theta}_n(z) = \frac{\tilde{Z}_n(e^{2i\tau z/n})}{\tilde{Z}_n(1)} $ 和 $ \theta_{n,\beta}(z) = \frac{Z_n(e^{2i\tau(z/n + \beta)})}{Z_n(e^{2i\tau\beta})} $，其中 $ z \to \text{紧集 in } \bbC $，且 $ \beta $ 为无理数。
• 将重标度多项式用归一化的循环长度 $ y_j^{(n)} $ 和独立同分布的单位圆变量 $ u_j $ 表示，得到 $ \tilde{\theta}_n(z) = \textstyle\bigprod_{j: \text{循环长度 } \ne 0} \frac{e^{2i\tau z y_j^{(n)}} - u_j}{1 - u_j} $。
• 利用归一化循环长度收敛到Poisson-Dirichlet过程，并结合虚拟等距的耦合，实现几乎必然收敛。
• 应用中等偏差估计和对极限函数零点 $ w_k $ 的乘积估计，以控制增长与解析性。
• 通过 $ |\tilde{\theta}_\ty{infty}(z)| \tle \text{e}^{C|z|\text{log}(2+|z|)} $ 及其在 $ \theta_{\ty{infty},\beta}(z) $ 上的类似形式，建立极限函数增长的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Ewens测度下，随机置换矩阵的特征多项式在微观尺度是否收敛到一个极限整函数？
• RQ2 将置换矩阵中的1-元素替换为单位圆上的独立同分布均匀变量，对特征多项式的尺度极限有何影响？
• RQ3 基于虚拟等距的耦合方法能否确保重标度后特征多项式的几乎必然收敛？
• RQ4 由重标度特征多项式产生的极限整函数的生长与解析性质是什么？
• RQ5 尺度 $ z/n + \beta $ 中的无理参数 $ \beta $ 如何影响极限行为？

主要发现

• 重标度后的特征多项式 $ \tilde{\theta}_n(z) $ 几乎必然收敛到一个整函数 $ \tilde{\theta}_\ty{infty}(z) = \textstyle\bigprod_{j=1}^\ty{infty} \frac{e^{2i\tau z y_j} - u_j}{1 - u_j} $，当 $ n \to \ty{infty} $ 时，其中 $ (y_j) $ 为归一化的循环长度，$ u_j $ 为单位圆上独立同分布的均匀变量。
• 极限函数 $ \tilde{\theta}_\ty{infty}(z) $ 几乎必然满足增长界 $ |\tilde{\theta}_\ty{infty}(z)| \tle \text{e}^{C|z|\text{log}(2+|z|)} $，其中 $ C > 0 $ 为某随机常数。
• 在标准置换矩阵情形下，重标度多项式 $ \theta_{n,\beta}(z) $ 几乎必然收敛到 $ \theta_{\ty{infty},\beta}(z) = \textstyle\bigprod_{j: \text{循环长度 } \ne 0} \frac{e^{2i\tau(z/n + \beta)\tilde{\tau}_j} - 1}{e^{2i\tau\beta\tilde{\tau}_j} - 1} $，其中 $ \beta $ 为无理数。
• 极限函数 $ \theta_{\ty{infty},\beta}(z) $ 满足对所有 $ \ty{eps} > 0 $，有 $ |\theta_{\ty{infty},\beta}(z)| \tle C_\ty{\ty{eps}} \text{e}^{(\ty{eps} + 2\tau(y_0 + (1-y_0)t_\beta))|z|} $，其中 $ t_\beta = \frac{1}{2\text{sin}(\tau\beta)} $。
• 极限函数的零点 $ w_k $ 几乎必然满足 $ w_k = \frac{k}{1 - y_0} + \ty{O}(k^{1/2 + \ty{eps}}) $，对任意 $ \ty{eps} > 0 $。
• 在 $ \bbC $ 的紧子集上，$ \tilde{\theta}_n(z) $ 对 $ \tilde{\theta}_\ty{infty}(z) $ 的收敛成立在分布律下，且耦合确保了几乎必然收敛，将CUE系综的结果推广至基于置换的模型。