[论文解读] Characteristics, Conal Geometry and Causality in Locally Covariant Field Theory

Igor Khavkine|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用 15

一句话总结

本文通过引入锥化流形（conal manifolds）作为洛伦兹因果结构的推广，为具有拟线性运动方程的古典场论（如广义相对论）构建了一个几何因果框架。它统一了喷丛PDE理论、对称双曲系统与协变相空间方法，构造了微分同胚协变的相空间与辛结构，证明LCFT公理在此设定下成为定理，并推测了量子引力中动力因果结构的可能性。

ABSTRACT

The goal of this work, motivated by the desire to understand causality in classical and quantum gravity, is an in depth investigation of causality in classical field theories with quasilinear equations of motion, of which General Relativity is a prominent example. Several modern geometric tools (jet bundle formulation of partial differential equations (PDEs), the theory of symmetric hyperbolic PDE systems, covariant constructions of symplectic and Poisson structures) and applies them to the construction of the phase space and the algebra of observables of quasilinear classical field theories. This construction is shown to be diffeomorphism covariant (using auxiliary background fields if necessary) using categorical tools in a strong parallel with the locally covariant field theory (LCFT) formulation of quantum field theory (QFT) on curved spacetimes. In this context, generalized versions of LCFT axioms become theorems of classical field theory, which includes a generalized Causality property. Considering deformation quantization as the connection to QFT, a plausible conjecture is made about the Causal structure of quantum gravity. In the process, conal manifolds are identified as the generalization of the causal structure of Lorentzian geometry to quasilinear PDEs. Several important concepts and results are generalized from Lorentzian to conal geometry. Also, the proof of compatibility of the Peierls formula for Poisson brackets and the covariant phase space symplectic structure for hyperbolic systems is generalized to now encompass systems with constraints and gauge invariance.

研究动机与目标

• 为具有动力因果结构的古典场论（特别是广义相对论这类拟线性系统）发展一种非微扰的、几何化的因果表述。
• 将局部协变场论（LCFT）的公理框架扩展至运动方程为拟线性的古典场论，其中主符号依赖于动力场。
• 利用喷丛与协变相空间方法，建立此类理论的协变、微分同胚不变的相空间与泊松结构构造。
• 将佩耶尔斯公式与协变相空间辛结构的相容性推广至包含约束与规范不变性的系统。
• 通过将经典锥化几何与形变量子化及弯曲时空上的微扰QFT相联系，推测量子引力中存在动力因果结构。

提出的方法

• 使用喷丛形式化，为古典场论中的偏微分方程（PDE）提供内在的几何描述。
• 应用对称双曲PDE系统理论，为拟线性场论构造适定的相空间。
• 采用协变相空间方法，为相空间赋予与微分同胚不变性相容的规范辛结构。
• 使用佩耶尔斯公式推导泊松括号，并证明其在存在约束与规范对称性时仍与协变相空间构造相容。
• 引入锥化流形作为洛伦兹时空几何的推广，用于描述拟线性PDE中的因果结构。
• 应用范畴论工具（极限与余极限），以微分同胚协变、背景无关的方式形式化可观测量与相空间的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 在因果结构不由背景度量固定的古典场论中（如广义相对论），如何几何化地表述因果性？
• RQ2 对于主符号依赖于动力场的拟线性PDE，洛伦兹因果结构的适当推广是什么？
• RQ3 当运动方程为拟线性时，局部协变场论（LCFT）的公理能否作为古典场论中的定理被导出？
• RQ4 在存在规范对称性与约束的情况下，佩耶尔斯公式与协变相空间方法如何协调统一？
• RQ5 古典引力中动力因果结构对量子引力的表述有何影响，特别是在形变量子化语境下？

主要发现

• 锥化流形被引入作为拟线性场论中因果结构的自然几何框架，推广了洛伦兹几何。
• 即使在使用辅助背景场的情况下，拟线性古典场论的相空间与辛结构的构造仍保持微分同胚协变性。
• 佩耶尔斯公式与协变相空间辛结构的相容性被推广至包含约束与规范不变性的系统。
• LCFT公理——特别是推广的因果性性质——在应用于拟线性系统时，成为古典场论中的定理。
• 提出了一个合理的猜想：古典引力中观察到的动力因果结构应在量子引力中持续存在，暗示一种非微扰表述，其中因果性不依赖于背景。
• 线性化引力中推迟与超前格林函数的奇点与支撑结构依赖于完整的动力度量，而不仅限于背景度量，证实了广义相对论中因果性的动力本质。