[论文解读] Characterization and Classification of Fermionic Symmetry Enriched Topological Phases

David Aasen, Parsa Bonderson+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用 33

一句话总结

论文使用 Gf-crossed braided tensor categories 构建费米对称性丰富拓扑 (FSET) 相框架，分类对 (2+1)D 费米拓扑序中具有现场单位费米对称性 Gf 的对称性分式化和缺陷。

ABSTRACT

We examine the interplay of symmetry and topological order in $2+1$ dimensional fermionic topological phases of matter. We define fermionic topological symmetries acting on the emergent topological effective theory described using braided tensor category theory. Connecting this to the ${\\cal G}^{\ m f}$ fermionic symmetry of the microscopic physical system, we characterize and classify symmetry fractionalization in fermionic topological phases. We find that the physical fermion provides constraints that result in a tiered structure of obstructions and classification of fractionalization with respect to the physical fermions, the quasiparticles, and the vortices. The fractionalization of the (bosonic) symmetry $G= {\\cal G}^{\ m f}/\\mathbb{Z}_2^{\ m f}$ on the physical fermions is essentially the central extension of $G$ by the $\\mathbb{Z}_2^{\ m f}$ fermion parity conservation that yields the fermionic symmetry ${\\cal G}^{\ m f}$. We develop an algebraic theory of ${\\cal G}^{\ m f}$ symmetry defects for fermionic topological phases using $G$-crossed braided tensor category theory. This formalism allows us to fully characterize and classify $2+1$ dimensional fermionic symmetry enriched topological phases with on-site unitary fermionic symmetry group ${\\cal G}^{\ m f}$. We first apply this formalism to extract the minimal data specifying a general fermionic symmetry protected topological phase, and demonstrate that such phases with fixed ${\\cal G}^{\ m f}$ form a group under fermionic stacking. Then we analyze general fermionic symmetry enriched topological phases and find their classification is given torsorially by the classification of the symmetry fractionalization of quasiparticles combined with the classification of fermionic symmetry protected topological phases. We illustrate our results by detailing a number of examples, including all the invertible fermionic topological phases.

研究动机与目标

• 激发并形式化在具有物理费米子的 2+1D 费米系统中对称性与拓扑序的相互作用。
• 通过引入费米对称性和 Gf-crossed 结构，将 braided tensor category 理论扩展到费米拓扑序。
• 对费米拓扑相的对称性分式化与缺陷结构进行分类，包括阻碍与扭子（torsor）分类。
• 构建一个与费米子奇偶性一致的费米 SPT 与 SET 相的叠加、凝聚与组合框架。
• 提供显式示例，包括所有可逆费米拓扑相，以说明该分类。

提出的方法

• 采用 braided tensor category (BTC) 和超模/费米 MTC (FMTC) 形式来描述费米拓扑序。
• 引入费米拓扑对称性和费米对称群 Gf 作为物理对称性 G 由 Zf2 的 Z2 中心扩张。
• 发展 Gf-crossed BTCs 来建模准粒子、涡量子、对称性作用和分式化的融合与 braiding。
• 确定对称性分式化的阻碍，并通过扭力（同调群） H2 和 H3 分类分式化模式。
• 从 Zf2 × Z2 FSPT 相构建基础理论，以高效生成一般 FSPT 相并分析其叠加结构。
• 提供通过准粒子/涡量子分式化、缺陷理论和 FSPT 扭子 的三阶段 (2+1)D FSET 相分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 (2+1)D 费米拓扑相中，对称性分式化存在哪些阻碍？
• RQ2 Gf-crossed braided tensor category 理论如何对费米 SET 相中的对称性缺陷和分式化进行分类？
• RQ3 费米子奇偶性约束如何形成本征之间的关系，即玻色对称性和费米对称性的作用与分式化？
• RQ4 在堆叠下，费米 SPT 相的群结构如何，以及它如何进入 FSET 分类？
• RQ5 是否有显式示例（包括可逆 FMTCs）来说明所提 FSET 分类框架？

主要发现

• 费米对称性分式化受阻碍与扭子（torsor）控制，反映 Z2 费米子奇偶性，与 bosonic 情况相比形成更细的层级。
• 物理费米子约束可能的对称性作用和分式化模式，将费米对称性 Gf 与 G 的 Zf2 中心扩张联系起来。
• Gf-crossed 缺陷理论捕捉准粒子、涡量子与对称性在其上的作用的融合与 braiding，从而实现对 FSET 相的完整表征。
• 具有确定 Gf 的 FSPT 相在费米堆叠下形成一个群，与费米子配对和凝聚相容性相一致，并与准粒子分式化结合以分类 FSET 相。
• 该框架在示例中恢复已知分类，并提供一个基于扭子描述的结构化框架，覆盖所有可逆 FMTCs，以描述 FSPT 和 FSET 相。