[论文解读] Characterization of $1$-almost greedy bases

Fernando Albiac, José L. Ansorena|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过引入并证明此类基 precisely 拥有性质 (A)，对 Banach 空间中的 1-几乎贪婪基给出了完整的刻画。该结果完成了 Albiac 与 Wojtaszczyk（2006 年）开启的一系列等距刻画，并由 Albiac、Ansorena 等人延续，表明一个基是 1-贪婪的当且仅当它既是 1-几乎贪婪的又是 1-拟贪婪的。

ABSTRACT

This article closes the cycle of characterizations of greedy-like bases in the isometric case initiated in [F. Albiac and P. Wojtaszczyk, Characterization of $1$-greedy bases, J. Approx. Theory 138 (2006)] with the characterization of $1$-greedy bases and continued in [F. Albiac and J. L. Ansorena, Characterization of $1$-quasi-greedy bases, arXiv:1504.04368v1 [math.FA] (2015)] with the characterization of $1$-quasi-greedy bases. Here we settle the problem of providing a characterization of $1$-almost greedy bases in Banach spaces. We show that a (semi-normalized) basis in a Banach space is almost greedy with almost greedy constant equal to $1$ if and only if it has Property (A). This fact permits now to state that a basis is $1$-greedy if and only if it is $1$-almost greedy and $1$-quasi-greedy. As a by-product of our work we also provide a tight characterization of almost greedy bases.

研究动机与目标

• 通过完全刻画 1-几乎贪婪基，完成对类似贪婪基等距刻画的闭环。
• 确立一个基是 1-几乎贪婪的当且仅当它满足性质 (A)。
• 阐明 1-贪婪基、1-拟贪婪基与 1-几乎贪婪基之间的关系。
• 利用性质 (A) 作为统一标准，对几乎贪婪基提供紧致刻画。
• 将结果的有效性从 Schauder 基扩展至一般的半正规有界双正交系。

提出的方法

• 为 Banach 空间中的基引入并定义性质 (A)，该条件涉及带符号的基元素并集的范数。
• 对每个 x ∈ X 使用自然贪婪排序来定义第 m 个贪婪逼近 G_m(x)。
• 应用民主基与无条件基的理论，特别关注常数最优的 1 情况。
• 运用对偶性与重赋范技术，分析贪婪算法及其逼近误差的行为。
• 利用先前对 1-贪婪基与 1-拟贪婪基的刻画，推导出 1-几乎贪婪基与性质 (A) 之间的等价性。
• 在更广泛的半正规有界双正交系背景下验证结果，而不仅限于 Schauder 基。

实验结果

研究问题

• RQ1 Banach 空间中 1-几乎贪婪基的完整等距刻画是什么？
• RQ2 当几乎贪婪常数为 1 时，性质 (A) 与几乎贪婪性质有何关系？
• RQ3 1-贪婪基的类是否可以完全刻画为 1-几乎贪婪基与 1-拟贪婪基的交集？
• RQ4 性质 (A) 是否是基为 1-几乎贪婪的充分必要条件？
• RQ5 该刻画是否可扩展至超出 Schauder 基的一般有界双正交系？

主要发现

• Banach 空间中的一个基是 1-几乎贪婪的当且仅当它具有性质 (A)。
• 1-贪婪常数为 1 当且仅当该基既是 1-几乎贪婪的又是 1-拟贪婪的。
• 性质 (A) 是基为 1-几乎贪婪的必要且充分条件，提供了紧致刻画。
• 1-几乎贪婪基的刻画完成了 Albiac 与 Wojtaszczyk（2006 年）开启并由 Albiac、Ansorena 等人扩展的等距分类程序。
• 该结果不仅适用于 Schauder 基，也适用于一般的半正规有界双正交系。
• 若性质 (A) 不成立，则即使基是 1-格无条件的且 1-超民主的，也无法成为 1-几乎贪婪基，如先前文献中的反例所示。