[论文解读] Characterization of atomic decompositions, Banach frames, Xd-frames, duals and synthesis-pseudo-duals, with application to Hilbert frame theory

Diana T. Stoeva|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文全面表征了巴拿赫空间与希尔伯特空间中的原子分解、巴拿赫框架、Xd-框架及其对偶，重点研究了在级数展开中框架序列与非框架序列的可互换性。文章引入了合成与分析伪对偶，建立了此类非框架序列必为框架的条件，并将结果应用于希尔伯特框架理论，表明当合成算子的核为有限维时，所有伪对偶均为对偶框架。

ABSTRACT

In this paper we consider series expansions via a frame and a non-frame and the possibilities for interchange of the two sequences, both in the Hilbert and Banach space setting. First we give a characterization of frame-related concepts in Banach spaces (atomic decompositions, Banach frames, $X_d$-Riesz bases, $X_d$-frames, $X_d$-Bessel sequences, and sequences satisfying the lower $X_d$-frame condition). We also determine necessary and sufficient conditions for operators to preserve the type of the concepts listed above. Then we discuss differences and relationships between expansions in a Banach space and its dual space when interchanging the involved sequences. Finally, we apply some of the results to answer problems in Hilbert frame theory. We show that interchanging a frame and a non-Bessel sequence in series expansions is not always possible (leading to differentiation of analysis- and synthesis-pseudo-duals of a frame) and determine an appropriate subspace where interchange can be done. We characterize all the synthesis-pseudo-duals of a frame and determine a class of frames whose synthesis-pseudo-duals (resp. analysis-pseudo-duals) are necessarily frames. We also investigate connections between the lower frame condition and series expansions. Examples are given to illustrate statements in the paper and to show the optimality of some results.

研究动机与目标

• 表征巴拿赫空间中的原子分解、巴拿赫框架、Xd-框架及相关概念。
• 确定算子保持框架型性质的必要与充分条件。
• 研究在巴拿赫空间与希尔伯特空间的级数展开中，框架序列与非框架序列的可互换性。
• 将结果应用于希尔伯特框架理论，特别是关于合成与分析伪对偶的研究。
• 识别出所有伪对偶必为框架的框架类别。

提出的方法

• 表征巴拿赫空间中的原子分解、巴拿赫框架、Xd-框架、Xd-贝塞尔序列及下Xd-框架条件。
• 通过对偶性与有界性论证，建立保持框架型性质的算子条件。
• 分析对偶空间中的级数展开，并比较巴拿赫与希尔伯特空间中序列的可互换性。
• 将合成伪对偶（s-伪对偶）与分析伪对偶（a-伪对偶）定义为仅满足对偶框架重构方程之一的序列。
• 利用合成算子 T_G 的核，确定伪对偶必为框架的条件，借助 [31] 与 [13] 的结果。
• 运用泛函分析工具，包括 ℓ² 收敛与正交补论证，证明当 (c_i) ∈ ℓ² 时，有 (⟨f_i, g⟩) ∈ ℓ² 对所有 g ∈ H 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非贝塞尔序列可与框架在级数展开中互换？
• RQ2 在何种情况下，一个框架的所有合成或分析伪对偶必为框架？
• RQ3 下框架条件与伪对偶序列存在性之间有何关系？
• RQ4 框架性质在巴拿赫空间与希尔伯特空间的算子变换下如何表现？
• RQ5 合成算子的核在确定伪对偶的框架性质中起何作用？

主要发现

• 对于合成算子 T_G 的核为有限维的框架，每个 s-伪对偶与每个 a-伪对偶必为对偶框架。
• 所有伪对偶均为框架的框架类别包括里斯基与某些具有有限维 ker(T_G) 的过完备框架。
• 在级数展开中互换框架与非贝塞尔序列并非总是可行，且此类互换仅在特定子空间中有效。
• 一个框架的所有合成伪对偶被表征为满足 ∑⟨f, g_i⟩f_i = f 对所有 f ∈ H 成立的序列 (f_i)。
• 分析伪对偶被表征为满足 ∑⟨g, f_i⟩g_i = g 对所有 g ∈ H 成立的序列 (f_i)。
• 本文表明 [34, Prop. 4.10] 中关于伪框架表示的陈述是错误的，如例 5.1 所示。