[论文解读] Characterization of circulant graphs having perfect state transfer

Milan Bašić|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 13

一句话总结

本文對具有完美態制備轉移（PST）的整數循環圖（ICGₙ(D)）提供了完整的特徵化，證明PST發生當且僅當n ∈ 4ℕ，且D滿足特定的可除性條件，包括n/d ∈ 8ℕ、8ℕ+4，以及包含n/2或n/4。主要貢獻在於推導出此類圖的計數閉式公式，並對發生PST的ICGₙ(D)進行完整的譜分析。

ABSTRACT

In this paper we answer the question of when circulant quantum spin networks with nearest-neighbor couplings can give perfect state transfer. The network is described by a circulant graph $G$, which is characterized by its circulant adjacency matrix $A$. Formally, we say that there exists a {\it perfect state transfer} (PST) between vertices $a,b\in V(G)$ if $|F(τ)_{ab}|=1$, for some positive real number $τ$, where $F(t)=\exp(ıAt)$. Saxena, Severini and Shparlinski ({\it International Journal of Quantum Information} 5 (2007), 417--430) proved that $|F(τ)_{aa}|=1$ for some $a\in V(G)$ and $τ\in \R^+$ if and only if all eigenvalues of $G$ are integer (that is, the graph is integral). The integral circulant graph $\ICG_n (D)$ has the vertex set $Z_n = \{0, 1, 2, ..., n - 1\}$ and vertices $a$ and $b$ are adjacent if $\gcd(a-b,n)\in D$, where $D \subseteq \{d : d \mid n,\ 1\leq d

研究动机与目标

• 解決Angeles-Canul等人（2010）提出的開放問題，即完全特徵化允許完美態制備轉移（PST）的整數循環圖（ICGₙ(D)）。
• 確定在n的除數集合D滿足何種精確條件時，ICGₙ(D)中頂點之間會發生PST。
• 計算此類圖中完美量子通信距離（具有PST的頂點之間的最大距離）。
• 推導出給定階數n的ICGₙ(D)圖中支持PST的圖的數量之閉式表達式。
• 分析支持PST的ICGₙ(D)圖的譜性質，並連結數論性質與量子動力學。

提出的方法

• 使用循環鄰接矩陣及其譜性質，以建模具有最近鄰耦合的量子自旋網絡。
• 應用數論函數，特別是Ramanujan和c(j, m)，以分析ICGₙ(D)的特徵值。
• 將集合D分解為三個互不相交的子集：D₁ = 2(D₂∖{n/4})，D₂ = {d ∈ D | n/d ∈ 8ℕ+4}∖{n/4}，以及D₃̃ = {d ∈ D | n/d ∈ 8ℕ}。
• 利用Ramanujan和與模運算的性質（例如，當j/2為奇數時，c(j/2, n₁/d) = 0）推導特徵值表達式。
• 應用關於Ramanujan和與特徵值奇偶性的引理，證明λⱼ ∈ 4ℕ+2對所有j ∈ 2ℕ成立，從而確保PST條件。
• 利用除數函數τ(n)與基於n mod 8的冪集基數，推導出閉式計數公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在除數集合D滿足何種條件時，整數循環圖ICGₙ(D)會發生完美態制備轉移？
• RQ2 在ICGₙ(D)圖中，完美量子通信距離（具有PST的頂點之間的距離）的最大值是多少？
• RQ3 階數為n的ICGₙ(D)圖中，有多少張圖支持完美態制備轉移？該數量能否以閉式表達？
• RQ4 哪些譜性質特徵化了支持PST的ICGₙ(D)圖？
• RQ5 能否將ICGₙ(D)中PST的特徵化推廣至加權或非均勻耦合的循環圖？

主要发现

• ICGₙ(D)中發生完美態制備轉移當且僅當n ∈ 4ℕ，且D = D̃₃ ∪ D₂ ∪ 2D₂ ∪ 4D₂ ∪ {n/2^a}，其中a ∈ {1,2}，且D̃₃與D₂由n/d的可除性條件定義。
• 所有具有PST的ICGₙ(D)圖中，完美量子通信距離的最大值恆為2，對所有n ∈ 4ℕ成立。
• 支持PST的階數為n的ICGₙ(D)圖的數量為|ICGₙ(D)| = 2^{τ(n/4)}，當n ∈ 8ℕ+4時；若n ∈ 8ℕ，則為2^{τ(n/8) ⋅ τ(n/2^{S₂(n)})}，其中τ表示除數函數。
• 所有具有PST的ICGₙ(D)圖的特徵值皆為整數，且對所有j ∈ 2ℕ，特徵值λⱼ屬於集合4ℕ+2。
• 對於n ∈ 4ℕ，圖類ICGₙ(D∖{n/2})對應於雞尾酒派對圖，且證明其支持PST。
• 支持PST的ICGₙ(D)圖的數量在漸近意義下與階數為n的ICGₙ(D)圖總數成正比，因為此類圖的密度不趨近於零。