[论文解读] Characterization of CR-functions by analytic extensions from curves and CR-extensions of boundary foliations

Mark Agranovsky|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2005

Holomorphic and Operator Theory被引用 1

一句话总结

本文通过解析延拓至附着的全纯圆盘族，刻画了复平面中光滑区域上的CR函数以及C²中超曲面上的CR函数。它通过证明函数属于全纯函数空间当且仅当可解析延拓至一维约旦曲线族，解决了复平面中全纯函数的条带问题（strip-problem）。该结果进一步推广至C²中超曲面上的CR函数，并证明了Globevnik与Stout关于高维全纯函数边界值的猜想。

ABSTRACT

Abstract. A characterization of CR − functions in terms of analytic extensions into attached analytic discs is obtained for smooth functions defined in domains in C or on smooth hypersurfaces in C 2. The first result, for domains in the plane, solves, under certain regularity conditions, an open problem on characterization of analytic functions in C in terms of analytic extendabitlty into one-dimensional family of Jordan curves (strip-problem). The second result, for the case when Ω is a hypersurface in C 2, gives a characterization of CR − functions on such hypersurfaces by analytic extensions in arbitrary generic families of attached analytic discs. Applying this result to 2-dimensional complex sections, proves, for smooth functions, a conjecture of Globevnik and Stout about characterization of boundary values of holomorphic functions in bounded domains in C n, n ≥ 2, in terms of analytic extendability into cross-sections by complex lines tangent to a fixed hypersurface. 1. Formulation of the problem, the main results and comments. 1.1. The results of this article are related to the following general problem: Let Ω ⊂ C n be a CR − manifold of real dimension k, and let D be a family of analytic

研究动机与目标

• 通过附着全纯圆盘的解析延拓，刻画C中光滑区域及C²中超曲面上的CR函数。
• 解决一个关于复平面中全纯函数通过延拓至一维约旦曲线族进行刻画的开放问题（条带问题）。
• 将这些结果推广至高维情形，特别是Cⁿ（n ≥ 2）中有界区域的情形。
• 证明Globevnik与Stout关于全纯函数边界值的猜想，即通过函数沿固定超曲面相切的复直线的解析延拓来刻画边界值。
• 建立一个将CR理论与沿全纯圆盘族的解析延拓性质相联系的一般框架。

提出的方法

• 利用附着于CR流形的全纯圆盘理论，研究CR函数的延拓性质。
• 对边界和曲线/圆盘族施加正则性条件，以确保解析延拓的良定义性。
• 运用复分析与CR几何中的技术，特别是研究C²中全纯圆盘族的全纯延拓。
• 将问题约化为Cⁿ中区域在二维复截面上的行为，利用与固定超曲面相切的复直线的几何结构。
• 利用全纯圆盘的泛型族结构，通过其边界行为与延拓性质刻画CR函数。
• 应用全纯圆盘方法，证明：若函数可解析延拓至此类族，则必为CR函数，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 复平面中的全纯函数能否通过其在单参数约旦曲线族中的解析延拓来刻画？
• RQ2 附着全纯圆盘族中的解析延拓与C²中光滑超曲面上的CR结构有何关系？
• RQ3 在C²中光滑超曲面上，何种条件可确保一光滑函数为CR函数，基于其在全纯圆盘中的延拓？
• RQ4 在Cⁿ（n ≥ 2）中，全纯函数的边界值在多大程度上可通过其沿与固定超曲面相切的复直线的解析延拓来刻画？
• RQ5 在C²中实维数为k的光滑CR流形上，全纯圆盘族的泛型族中的解析延拓是否能完全刻画CR函数？

主要发现

• 本文通过证明在适当正则性条件下，复平面中全纯函数可由其在单参数约旦曲线族中的解析延拓来刻画，从而解决了复平面中全纯函数的条带问题。
• 对于C²中的光滑超曲面，CR函数可被其在任意泛型附着全纯圆盘族中的解析延拓完全刻画。
• 将C²中全纯圆盘的结果应用于二维复截面，证明：Cⁿ（n ≥ 2）中有界区域中，光滑函数为全纯函数的边界值，当且仅当其可沿与固定超曲面相切的复直线进行解析延拓。
• 通过全纯圆盘的刻画为C²中光滑超曲面上的CR函数提供了几何判据，将函数论与复几何联系起来。
• 该方法证实了Globevnik与Stout关于Cⁿ（n ≥ 2）中全纯函数边界值刻画的猜想，即通过沿相切复直线的解析延拓来刻画边界值。
• 结果建立了边界延拓问题可解性与附着于边界之全纯圆盘族几何结构之间的强关联。