[论文解读] Characterization of Determinantal Bivariate Polynomials

Papri Dey|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Advanced Optimization Algorithms Research被引用 2

一句话总结

本文通过利用正交双随机矩阵将系数表示为内积，提供了二元多项式存在确定性行列式表示的充要条件。该方法可计算首一对称/厄米特行列式表示，并引入了行列式问题的凸松弛，刻画了特定类二元行列式多项式系数向量的取值范围。

ABSTRACT

Determinantal polynomials play a crucial role in semidefinite programming problems. Helton-Vinnikov proved that real zero (RZ) bivariate polynomials are determinantal. However, it leads to a challenging problem to compute such a determinantal representation. We provide a necessary and sufficient condition for the existence of definite determinantal representation of a bivariate polynomial by identifying its coefficients as scalar products of two vectors where the scalar products are defined by orthostochastic matrices. This alternative condition enables us to develop a method to compute a monic symmetric/Hermitian determinantal representations for a bivariate polynomial of degree $d$. In addition, we propose a computational relaxation to the determinantal problem which turns into a problem of expressing the vector of coefficients of the given polynomial as convex combinations of some specified points. We also characterize the range set of vector coefficients of a certain type of determinantal bivariate polynomials.

研究动机与目标

• 建立二元多项式确定性行列式表示的充要条件。
• 开发一种计算方法，用于构造首一对称或厄米特行列式表示。
• 通过将系数向量表示为指定点的凸组合，引入行列式问题的凸松弛。
• 刻画特定类行列式二元多项式系数向量取值集合的范围。

提出的方法

• 利用正交双随机矩阵，将二元多项式的系数表示为两个向量的内积。
• 利用正交双随机矩阵的结构，推导出确定性行列式表示的必要与充分条件。
• 通过将系数向量表示为固定点的凸组合，将行列式表示问题转化为凸松弛形式。
• 利用对称性与正交性性质，构造首一对称或厄米特表示。
• 应用实零多项式已知结果及Helton-Vinnikov定理作为基础约束。
• 通过分析在正交双随机约束下多项式映射的像，刻画系数向量的取值范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，二元多项式可具有确定性行列式表示？
• RQ2 如何算法化地计算给定二元多项式的首一对称或厄米特行列式表示？
• RQ3 行列式表示问题的凸松弛是什么？它与系数向量结构有何关系？
• RQ4 哪些系数向量可由特定类型的行列式二元多项式产生？
• RQ5 某一类行列式二元多项式的系数向量的几何取值范围是什么？

主要发现

• 当且仅当其系数可由正交双随机矩阵定义的内积表示时，二元多项式才具有确定性行列式表示。
• 该方法可对任意次数为d的二元多项式显式计算其首一对称或厄米特行列式表示。
• 行列式问题被松弛为凸组合问题，转化为可解的线性规划型可行性问题。
• 某一类行列式二元多项式的系数向量取值范围被完全刻画为受正交双随机矩阵约束的特定映射的像。
• 该刻画提供了此类行列式多项式所产生的系数向量集合的完整代数与几何描述。