[论文解读] Characterization of generalized Petersen graphs that are Kronecker covers

Matjaž Krnc, Tomaž Pisanski|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

Finite Group Theory Research被引用 4

一句话总结

本文表征了所有广义Petersen图 $G(n,k)$ 中为Kronecker覆盖（即通过与 $K_2$ 的张量积构造的二分双覆盖）的情形，并确定了其商图的结构。关键结果是完整分类：$G(n,k)$ 是Kronecker覆盖当且仅当 $k^2 \equiv 1 \pmod{n}$ 且 $n \mid \frac{k^2 - 1}{2}$，此时商图同构于特定LCF记号图 $C^+(n,k)$ 或 $C^-(n,k)$，具体取决于 $k$ 的奇偶性。该分类表明，此类图恰好在 $n$ 为奇数时为Kronecker覆盖，且在这些条件下商图唯一。

ABSTRACT

The family of generalized Petersen graphs $G(n, k)$, introduced by Coxeter et al. [4] and named by Mark Watkins (1969), is a family of cubic graphs formed by connecting the vertices of a regular polygon to the corresponding vertices of a star polygon. The Kronecker cover $\mathrm{KC}(G)$ of a simple undirected graph $G$ is a a special type of bipartite covering graph of $G$, isomorphic to the direct (tensor) product of $G$ and $K_2$. We characterize all the members of generalized Petersen graphs that are Kronecker covers, and describe the structure of their respective quotients. We observe that some of such quotients are again generalized Petersen graphs, and describe all such pairs.

研究动机与目标

• 确定所有广义Petersen图 $G(n,k)$ 中为某图的Kronecker覆盖的情形。
• 表征从 $G(n,k)$ 的Kronecker覆盖操作中获得的商图的结构。
• 对参数 $(n,k)$ 进行分类，以确定 $G(n,k)$ 为Kronecker覆盖的情形，特别关注商图唯一的条件。
• 探索广义Petersen图与其Kronecker覆盖之间的关系，尤其是当覆盖本身也是广义Petersen图时的情形。

提出的方法

• 本文使用Kronecker覆盖构造，定义为张量积 $G \times K_2$，以生成广义Petersen图的二分双覆盖。
• 分析Kronecker对合——定义覆盖操作下商图的二阶自同构。
• 作者通过LCF记号定义了两类图 $C^+(n,k)$ 和 $C^-(n,k)$，以表示 $G(n,k)$ 在Kronecker覆盖下的商图。
• 分类依赖于求解同余条件 $k^2 \equiv 1 \pmod{n}$ 和 $n \mid \frac{k^2 - 1}{2}$，这些条件决定了 $G(n,k)$ 是否允许Kronecker覆盖。
• 使用群论论证表明，Kronecker对合的集合可划分为等价类，且在给定条件下，此类等价类的数量恰好为一。
• 证明使用 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 上的加法群结构，分析对合的轨道，并确立商图的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些参数 $(n,k)$，广义Petersen图 $G(n,k)$ 是另一图的Kronecker覆盖？
• RQ2 当 $G(n,k)$ 是Kronecker覆盖时，其商图的结构是什么？
• RQ3 在何种条件下，$G(n,k)$ 在Kronecker覆盖下的商图是唯一的？
• RQ4 当Kronecker覆盖 $\mathrm{KC}(G(n,k))$ 本身是广义Petersen图时？
• RQ5 $G(n,k)$ 的对称性与自同构如何与Kronecker覆盖及其商图相关？

主要发现

• $G(n,k)$ 是Kronecker覆盖当且仅当 $k^2 \equiv 1 \pmod{n}$ 且 $n \mid \frac{k^2 - 1}{2}$。
• 当 $k \equiv 1 \pmod{4}$ 时，$G(n,k)$ 在Kronecker覆盖下的商图同构于通过LCF记号定义的 $C^+(n,k)$。
• 当 $k \equiv 3 \pmod{4}$ 时，商图同构于通过LCF记号定义的 $C^-(n,k)$。
• 在给定条件下，商图是唯一的，因为Kronecker对合的等价类数量恰好为一。
• $\mathrm{KC}(G(n,k))$ 本身是广义Petersen图当且仅当 $n$ 为奇数。
• 当 $n$ 为偶数时，Kronecker覆盖 $\mathrm{KC}(G(n,k))$ 不是广义Petersen图，且根据 $k$ 的奇偶性落入两类已知图类中。