[论文解读] Characterization of Matrices with Bounded Graver Bases and Depth Parameters and Applications to Integer Programming

Marcin Briański, Martin Koutecký+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文提出了具有有界Graver基和深度参数的矩阵的结构表征，表明Graver基的ℓ1-范数受矩阵中环路最大ℓ1-范数的函数有界。本文提出了一种参数化算法，可将矩阵转换为行等价的稀疏矩阵，其原始或对偶树深度及条目复杂度较小，从而在新的参数化（包括环路和Graver基的ℓ1-范数）下实现固定参数可追踪的整数规划。

ABSTRACT

An intensive line of research on fixed parameter tractability of integer programming is focused on exploiting the relation between the sparsity of a constraint matrix $A$ and the norm of the elements of its Graver basis. In particular, integer programming is fixed parameter tractable when parameterized by the primal tree-depth and the entry complexity of $A$, and when parameterized by the dual tree-depth and the entry complexity of $A$; both these parameterization imply that $A$ is sparse, in particular, the number of its non-zero entries is linear in the number of columns or rows, respectively. We study preconditioners transforming a given matrix to a row-equivalent sparse matrix if it exists and provide structural results characterizing the existence of a sparse row-equivalent matrix in terms of the structural properties of the associated column matroid. In particular, our results imply that the $\ell_1$-norm of the Graver basis is bounded by a function of the maximum $\ell_1$-norm of a circuit of $A$. We use our results to design a parameterized algorithm that constructs a matrix row-equivalent to an input matrix $A$ that has small primal/dual tree-depth and entry complexity if such a row-equivalent matrix exists. Our results yield parameterized algorithms for integer programming when parameterized by the $\ell_1$-norm of the Graver basis of the constraint matrix, when parameterized by the $\ell_1$-norm of the circuits of the constraint matrix, when parameterized by the smallest primal tree-depth and entry complexity of a matrix row-equivalent to the constraint matrix, and when parameterized by the smallest dual tree-depth and entry complexity of a matrix row-equivalent to the constraint matrix.

研究动机与目标

• 表征矩阵在何种条件下存在行等价的稀疏矩阵，且其原始或对偶树深度及条目复杂度有界。
• 建立矩阵Graver基的ℓ1-范数与其环路ℓ1-范数之间的联系。
• 开发一种参数化算法，构造具有最小树深度和条目复杂度的行等价矩阵。
• 将整数规划的固定参数可追踪性拓展至传统参数之外，包括环路和Graver基的ℓ1-范数。
• 利用拟阵理论（特别是列拟阵）提供结构洞见，以确定保持稀疏性的预条件方法。

提出的方法

• 利用拟阵理论，通过列拟阵的性质表征行等价稀疏矩阵的存在性。
• 证明Graver基的ℓ1-范数受矩阵中任意环路最大ℓ1-范数的函数有界。
• 应用Hliněný关于收缩树和主收缩∗-树的结果，以环路长度为依据界定树深度。
• 开发一种参数化算法，给定矩阵A，计算其行等价矩阵，使其原始或对偶树深度较小且条目复杂度有界。
• 利用初等行变换保持整数规划可行性与解结构的性质。
• 利用图拟阵和列拟阵中的树深度与收缩深度概念，推导结构复杂度的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种结构条件下，矩阵存在行等价的稀疏矩阵，且其原始或对偶树深度及条目复杂度有界？
• RQ2 矩阵Graver基的ℓ1-范数与其环路ℓ1-范数之间有何关系？
• RQ3 能否通过列拟阵的拟阵理论性质表征稀疏行等价矩阵的存在性？
• RQ4 以最长环路长度表示，拟阵的收缩深度的最紧上界为何？
• RQ5 能否在基于环路ℓ1-范数或Graver基ℓ1-范数的参数化下实现固定参数可追踪的整数规划？

主要发现

• Graver基的ℓ1-范数受矩阵中任意环路最大ℓ1-范数的函数有界。
• 当且仅当其列拟阵满足与环路范数相关的特定结构条件时，矩阵才存在行等价的稀疏矩阵，且其原始或对偶树深度及条目复杂度有界。
• 拟阵的主收缩∗-树的最小深度至多为最长环路长度的平方，且该上界在常数因子内是紧的。
• 所构造图序列的图拟阵的收缩深度为Ω(n²)，与二次上界一致，证明了该上界的最优性。
• 存在一种参数化算法，可计算出具有最小树深度和有界条目复杂度的行等价矩阵，从而在新参数下实现固定参数可追踪的整数规划。
• 当以Graver基的ℓ1-范数、环路的ℓ1-范数，或行等价矩阵中最小的原始/对偶树深度与条目复杂度为参数时，整数规划成为固定参数可追踪的。