[论文解读] Characterization of multivariate Bernoulli distributions with given margins

Roberto Fontana, Patrizia Semeraro|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出一种新方法，通过将弗雷chet类表示为射线密度的凸包，来表征具有给定边缘概率的多元伯努利分布。该方法可实现目标相关矩阵与给定边缘的相容性检验，并通过线性规划求解构造有效联合密度，同时代数推导出显式的相关性边界。

ABSTRACT

We express each Fréchet class of multivariate Bernoulli distributions with given margins as the convex hull of a set of densities, which belong to the same Fréchet class. This characterisation allows us to establish whether a given correlation matrix is compatible with the assigned margins and, if it is, to easily construct one of the corresponding joint densities. % Such %representation is based on a polynomial expression of the distributions of a Fréchet class. We reduce the problem of finding a density belonging to a Fréchet class and with given correlation matrix to the solution of a linear system of equations. Our methodology also provides the bounds that each correlation must satisfy to be compatible with the assigned margins. An algorithm and its use in some examples is shown.

研究动机与目标

• 解决长期存在的挑战：确定给定相关矩阵是否与多元二值数据中指定的伯努利边缘分布相容。
• 为在相关矩阵与边缘相容时系统性地构造有效联合密度提供方法。
• 推导出与给定边缘相容的成对相关性的显式边界，适用于任意变量数和相关结构。
• 开发一种计算框架，通过多项式与矩阵表示，实现具有预设边缘和矩的多元二值数据模拟。

提出的方法

• 将弗雷chet类中所有多元伯努利分布表示为射线密度的凸包，这些射线密度是该类的极值点。
• 基于差分矩阵的克罗内克积，采用多项式与矩阵表示，将联合密度表示为累积分布函数的形式。
• 将寻找具有给定矩的联合密度问题表述为涉及射线矩阵与相关约束的线性方程组。
• 使用4ti2软件构建射线矩阵 $ R_p $，以枚举弗雷chet类中的所有极值分布。
• 利用标准线性规划工具（如SAS/IML和Proc Lpsolve）求解所得线性系统，以找到满足边缘与相关性约束的有效密度。
• 利用射线矩阵与线性系统的结构，推导出成对相关性的解析边界，确保与给定边缘的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定的相关矩阵是否与多元二值数据中指定的伯努利边缘分布相容？
• RQ2 与固定伯努利边缘和给定相关结构一致的所有可能联合分布的集合是什么？
• RQ3 当相关矩阵与边缘相容时，如何高效构造多元二值数据的有效联合密度？
• RQ4 与给定边缘概率集相容的成对相关性的理论边界是什么？
• RQ5 具有预设边缘与矩的多元二值数据模拟是否可简化为求解线性方程组？

主要发现

• 具有给定边缘的多元伯努利分布的弗雷chet类是有限组射线密度的凸包，实现了精确表征。
• 对于三元情形，边缘为 $ p = (1/4, 1/4, 1/3) $，相关性边界为 $ -0.236 \leq \rho_{12} \leq 0.707 $，$ -0.408 \leq \rho_{13} \leq 0.816 $，以及 $ -0.289 \leq \rho_{23} \leq 0.577 $。
• 当 $ \rho_{12} = 0.3 $，$ \rho_{13} = 0.25 $，且 $ \rho_{23} = -0.2 $ 时，成功构造出有效联合密度，其 $ \boldsymbol{f}_p^T = (0.0146, 0, 0.1197, \dots, 0.4893) $。
• 对于 $ m = 5 $ 且所有边缘 $ p_i = 1/2 $ 的情形，该方法成功生成了包含2,712个射线密度的有效密度，并实现了指定的相关结构。
• 对于 $ m = 6 $ 且所有 $ p_i = 1/2 $ 的情形，该方法处理了707,264个射线密度，展示了在计算约束下的可扩展性。
• 该方法将具有给定边缘与矩的多元二值数据模拟问题简化为求解线性系统，通过标准线性规划工具实现高效计算。