[论文解读] Characterization of rectifiable measures in terms of $\alpha$-numbers

Jonas Azzam, Xavier Tolsa+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文通过基于 $\alpha$-numbers 的 Jones 型函数，对 $\mathbb{R}^n$ 中的 $d$-可rectifiable Radon 测度进行了表征，证明了 $\mu$ 是 $d$-可rectifiable 当且仅当 $\alpha_\mu^d(x,r)^2$ 关于 $dr/r$ 的积分为 $\mu$-几乎处处有限。该结果解决了长期悬而未决的问题，扩展了早期工作，并证实了关于 $\alpha$-numbers 的 $L^2$-可和性作为可rectifiability 充分条件的猜想。

ABSTRACT

We characterize Radon measures $\\mu$ in $\\mathbb{R}^{n}$ that are $d$-rectifiable in the sense that their supports are covered up to $\\mu$-measure zero by countably many $d$-dimensional Lipschitz graphs and $\\mu \\ll \\mathcal{H}^{d}$. The characterization is in terms of a Jones function involving the so-called $\\alpha$-numbers. This answers a question left open in a former work by Azzam, David, and Toro.

研究动机与目标

• 通过基于几何 $\alpha$-number 的函数，表征 $\mathbb{R}^n$ 中的 $d$-可rectifiable Radon 测度。
• 解决 [ADT16] 中的猜想，即 $\int_0^1 \widetilde{\alpha}_\mu^d(x,r)^2 \frac{dr}{r} < \infty$ 几乎处处成立可推出 $d$-可rectifiability。
• 基于 $\alpha$-numbers 的 $L^2$-可和性，建立 $d$-可rectifiability 的精确充分条件。
• 以 $\alpha$-系数在所有尺度上的衰减与可积性为基础，对 $d$-可rectifiable 测度给出完整表征。

提出的方法

• 将 $\alpha$-number $\alpha_\mu^d(B)$ 定义为 $\mu$ 与 $d$-平面之上 $d$-维 Hausdorff 测度的常数倍之间的归一化 Wasserstein 型距离。
• 使用 Jones 型函数 $J_\mu^d(x) = \int_0^1 \alpha_\mu^d(x,r)^2 \frac{dr}{r}$ 来衡量每个点 $x$ 处的 $\alpha$-number 衰减。
• 利用爆破论证法并对比逼近测度，证明 $\mu$ 是 $d$-可rectifiable 当且仅当 $J_\mu^d(x) < \infty$ 对 $\mu$-几乎处处的 $x \in \mathbb{R}^n$ 成立。
• 构造反例以表明当 $r \to 0$ 时 $\alpha_\mu^d(x,r)$ 点态趋于零不足以保证可rectifiability，从而证明了 $L^2$-可和性条件的必要性。
• 采用递归构造在扰动 Lipschitz 图上支撑的测度 $\mu_k$ 的方法，控制其在各尺度上的 $\alpha$-number 衰减，以验证 $L^2$ 条件的精确性。
• 利用环形区域上 Hausdorff 测度的几何估计以及平移不变性，控制不同尺度间 $\alpha$-numbers 的变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 关于 $dr/r$ 的 $\alpha_\mu^d(x,r)$ 的 $L^2$-可和性是否是 Radon 测度 $\mu$ 的 $d$-可rectifiability 的充分条件？
• RQ2 能否仅通过一个积分条件，利用 $\alpha$-numbers 完全表征 $d$-可rectifiable 测度？
• RQ3 仅靠 $\alpha$-number 点态衰减失败是否意味着必须采用更强的 $L^2$-可和性条件？
• RQ4 [ADT16] 中的猜想是否普遍成立：即 $\int_0^1 \widetilde{\alpha}_\mu^d(x,r)^2 \frac{dr}{r} < \infty$ 几乎处处成立可推出 $d$-可rectifiability？
• RQ5 是否存在一种测度，其所有尺度上的 $\alpha$-numbers 趋于零，但相对于 $\mathcal{H}^d$ 是奇异的？

主要发现

• 本文确立了 $\mathbb{R}^n$ 上的 Radon 测度 $\mu$ 是 $d$-可rectifiable 当且仅当对 $\mu$-几乎处处的 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $\int_0^1 \alpha_\mu^d(x,r)^2 \frac{dr}{r} < \infty$。
• $\alpha_\mu^d(x,r)$ 关于 $dr/r$ 的 $L^2$-可和性是 $d$-可rectifiability 的必要且充分条件，从而解决了 [ADT16] 中的猜想。
• 构造了一个反例，其中对 $\mu$-几乎处处的 $x$，有 $\alpha_\mu^d(x,r) \to 0$ 当 $r \to 0$，但 $\mu$ 相对于 $\mathcal{H}^d$ 是奇异的，表明点态衰减不足以保证可rectifiability。
• 证明依赖于在扰动 Lipschitz 图上支撑的测度 $\mu_k$ 的递归构造，其在各尺度上的 $\alpha$-number 衰减受到控制。
• 作者证明了 $\alpha_{\mu_{k+1}}(x,r) \lesssim \alpha_{\mu_k}(x',r') + a_{k+1} h_{k+1}$，其中 $a_k$ 和 $h_k$ 衰减足够快，以确保 $L^2$-可和性。
• 通过环形区域测度的几何估计，以及 $\alpha$-numbers 在平移和缩放下行为的分析，控制了 $\alpha$-numbers 在不同尺度间的增长。