[论文解读] Characterization of Tangent Cones of Noncollapsed Limits with Lower Ricci Bounds and Applications

Tobias Colding, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文刻画了在Ricci曲率有下界条件下，非退化Gromov-Hausdorff极限中切锥的集合，提供了光滑流形族作为此类切锥截面出现的必要与充分条件。它构造了具有非唯一、非同胚切锥的新极限空间——具体而言，构造了一个5维例子，其切锥分别为$\mathbb{C}P^2\sharp\overline{\mathbb{C}P}^2$和$S^4$的锥——表明基于欧氏切锥行为的分层结构并非良定义的。

ABSTRACT

Consider a limit space $(M_α,g_α,p_α)\stackrel{GH}{ ightarrow} (Y,d_Y,p)$, where the $M_α^n$ have a lower Ricci curvature bound and are volume noncollapsed. The tangent cones of $Y$ at a point $p\in Y$ are known to be metric cones $C(X)$, however they need not be unique. Let $\barΩ_{Y,p}\subseteq\cM_{GH}$ be the closed subset of compact metric spaces $X$ which arise as cross sections for the tangents cones of $Y$ at $p$. In this paper we study the properties of $\barΩ_{Y,p}$. In particular, we give necessary and sufficient conditions for an open smooth family $Ω\equiv (X_s,g_s)$ of closed manifolds to satisfy $\barΩ=\barΩ_{Y,p}$ for {\it some} limit $Y$ and point $p\in Y$ as above, where $\barΩ$ is the closure of $Ω$ in the set of metric spaces equipped with the Gromov-Hausdorff topology. We use this characterization to construct examples which exhibit fundamentally new behaviors. The first application is to construct limit spaces $(Y^n,d_Y,p)$ with $n\geq 3$ such that at $p$ there exists for every $0\leq k\leq n-2$ a tangent cone at $p$ of the form $\RR^{k} imes C(X^{n-k-1})$, where $X^{n-k-1}$ is a smooth manifold not isometric to the standard sphere. In particular, this is the first example which shows that a stratification of a limit space $Y$ based on the Euclidean behavior of tangent cones is not possible or even well defined. It is also the first example of a three dimensional limit space with nonunique tangent cones. The second application is to construct a limit space $(Y^5,d_Y,p)$, such that at $p$ the tangent cones are not only not unique, but not homeomorphic. Specifically, some tangent cones are homeomorphic to cones over $\CC P^2\sharp\bar{\CC P}^2$ while others are homeomorphic to cones over $\Sn^4$.

研究动机与目标

• 刻画在Riemann流形序列的非退化Gromov-Hausdorff极限中，某一点处出现的切锥集合，这些流形具有Ricci曲率下界。
• 确定在何种条件下，一族光滑闭流形可作为此类极限中切锥截面出现的必要与充分条件。
• 构造具有根本非唯一且非同胚切锥的新极限空间例子，挑战现有关于分层的假设。
• 建立Ricci闭包性（Ricci closability）作为几何条件的概念，以支持此类极限空间的构造。

提出的方法

• 引入闭Riemann流形的Ricci闭包性概念：即存在一个完备的、非负Ricci曲率流形，其无限环形区域与该流形的锥形端部等距。
• 利用Gromov-Hausdorff收敛性及度量空间空间的紧致性，分析切锥截面族的闭包。
• 通过形如$ ds^2 + C^2(s)dr^2 + D^2(s)A^2(r)dr^2 + E^2(s)B^2(r)(dY^2 + dZ^2) $的扭曲积度量构造几何钴硼（geometric cobordism），并选择特定函数以保证非负Ricci曲率。
• 应用具有第二基本形式控制的粘合论证：将锥形端部与光滑帽状结构匹配，使得边界处的第二基本形式在大小和符号上占主导。
• 验证所得流形具有非负Ricci曲率，且边界与原始截面等距，从而证明Ricci闭包性。
• 利用存在Ricci闭包性截面的事实，构造一个极限空间，使得该截面族的闭包恰好等于给定族。

实验结果

研究问题

• RQ1 一族光滑闭流形需满足何种条件，才能成为具有Ricci曲率下界且非退化的极限空间中切锥截面的必要与充分条件？
• RQ2 能否构造一个极限空间，使得某一点处的切锥不仅非唯一，而且不同胚？
• RQ3 是否可能构造一个极限空间，其切锥具有不同的欧氏维数，包括非球面对的截面？
• RQ4 若存在一个Ricci闭包性截面，是否能保证存在一个极限空间，使得其截面族的闭包恰好等于该族？

主要发现

• 本文构造了一个3维极限空间，其切锥非唯一：对每个$ 0 \leq k \leq n-2 $，存在形如$ \mathbb{R}^k \times C(X^{n-k-1}) $的切锥，其中$ X^{n-k-1} $为不与标准球面等距的光滑流形。
• 该例子表明，基于切锥欧氏维数的极限空间分层结构并非良定义，因为单点处可共存具有不同欧氏维数的多个切锥。
• 构造了一个5维极限空间，其切锥不仅非唯一，而且不同胚：部分为$ \mathbb{C}P^2\sharp\overline{\mathbb{C}P}^2 $的锥，另一部分为$ S^4 $的锥。
• 该构造证明了$ \mathbb{C}P^2\sharp\overline{\mathbb{C}P}^2 $是Ricci闭包的，通过构建一个完备的5维流形，其具有非负Ricci曲率，且其锥形端部与该流形的锥等距。
• 本文确立了：若一族光滑闭流形满足体积与Ricci曲率有界，且至少包含一个Ricci闭包流形，则该族可实现为非退化极限空间中切锥截面集合的闭包。
• 结果确认了极限空间中切锥截面集合$ \overline{\Omega}_{Y,p} $恰好由该族在Gromov-Hausdorff拓扑下的拓扑闭包所刻画。