[论文解读] Characterization of threshold functions: state of the art, some new contributions and open problems

Josep Freixas, Marc Freixas+1 more|EPub Bayreuth (University of Bayreuth)|Mar 1, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 57被引用 9

一句话总结

本文通过使用贸易鲁棒性和不变贸易鲁棒性，统一了阈值逻辑与简单博弈论，对加权博弈——可用加权多数规则表示的单调投票系统——进行了刻画。证明了在具有一个或两个等价选民间类型的情况下，2-不变贸易鲁棒性完全刻画了加权性；提出了一个参数化的、2-贸易鲁棒但非3-贸易鲁棒的博弈族；并提出猜想：对于具有三种选民间类型或两种移位最小胜利联盟类型的博弈，3-贸易鲁棒性意味着加权性。

ABSTRACT

This paper has a twofold scope. The first one is to clarify and put in evidence the isomorphic character of two theories developed in quite different fields: on one side, threshold logic, on the other side, simple games. One of the main purposes in both theories is to determine when a simple game is representable as a weighted game, which allows a very compact and easily comprehensible representation. Deep results were found in threshold logic in the sixties and seventies for this problem. However, game theory has taken the lead and some new results have been obtained for the problem in the last two decades. The second and main goal of this paper is to provide some new results on this problem and propose several open questions and conjectures for future research. The results we obtain depend on two significant parameters of the game: the number of types of equivalent players and the number of types of shift-minimal winning coalitions.

研究动机与目标

• 通过澄清加权博弈在阈值逻辑与简单博弈论中的同构处理，统一阈值逻辑与简单博弈论。
• 使用贸易鲁棒性和不变贸易鲁棒性，为加权博弈提供新的刻画结果。
• 识别简化加权性判定问题的结构性参数——选民间类型数量与移位最小胜利联盟类型数量。
• 构建显式非加权博弈族，这些博弈族为k-贸易鲁棒但非(k+1)-贸易鲁棒，以揭示贸易鲁棒性作为刻画工具的局限性。
• 为未来研究提出开放问题与猜想，探讨贸易鲁棒性水平对加权性的充分性。

提出的方法

• 使用贸易鲁棒性和不变贸易鲁棒性作为完整简单博弈中加权性的判定标准。
• 应用几何与代数技术分析分离超平面与线性不等式组。
• 基于选民间与联盟类型数量的参数化博弈构造方法，生成具有受控贸易鲁棒性水平的示例。
• 推导生成函数以计数此类博弈，表明在特定参数集下其渐近增长为Θ(n³)。
• 通过n=20以内的穷举枚举验证关于贸易鲁棒性与加权性的猜想。
• 将阈值逻辑中的结果（特别是非可加性与线性可分性）适配至博弈论框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些t值（选民间类型数量），存在一个完整简单博弈序列，使得对所有k≥2，该序列均为k-贸易鲁棒但非(k+1)-贸易鲁棒？
• RQ2 对于哪些r值（移位最小胜利联盟类型数量），此类序列存在？
• RQ3 对于具有t=3个选民间类型或r=2个移位最小胜利联盟类型的完整简单博弈，3-贸易鲁棒性是否蕴含加权性？
• RQ4 对于某个有限m≥3，是否存在m-贸易鲁棒性可保证完整简单博弈的加权性？
• RQ5 所有具有t=3和r=2的2-贸易鲁棒但非3-贸易鲁棒的完整简单博弈是否同构于引理8.3中构造的参数族？

主要发现

• 具有一个或两个等价选民间类型的完整简单博弈类，完全由2-不变贸易鲁棒性刻画，该条件对加权性而言既是必要也是充分的。
• 构造了一个包含n=11名选民间、参数k₁,k₂,k₃,l∈ℕ的参数化博弈族，该族为2-贸易鲁棒但非3-贸易鲁棒，其渐近计数为Θ(n³)。
• 该族的生成函数为x¹¹(x−2)/[(1−x)³(1−x⁴)]，证实了此类非加权博弈数量的立方增长。
• 通过n=20以内的穷举枚举验证了猜想8.4：所有具有t=3和r=2的3-贸易鲁棒博弈均为加权博弈，且唯一的非加权2-贸易鲁棒博弈即为引理8.3中的构造。
• 贸易鲁棒性与不变贸易鲁棒性是互补工具：贸易鲁棒性在r较小时有效，而不变贸易鲁棒性在t较小时有效。
• 本文指出，目前尚无已知的、具有r=2或t=3的3-贸易鲁棒但非加权博弈的实例，暗示此类博弈可能不存在，但该结论尚未被证明。