[论文解读] Characterization of uninorms with continuous underlying t-norm and t-conorm by means of an extended ordinal sum

Andrea Mesiarová‐Zemánková|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过引入扩展序和构造法，完整刻画了具有连续底层t-范数和t-余范的平和算子。证明了此类平和算子可分解为可表示平和算子、连续阿基米德t-范数、t-余范以及内部平和算子，将t-范数和t-余范的序和表示推广至平和算子框架。

ABSTRACT

The uninorms with continuous underlying t-norm and t-conorm are characterized via an extended ordinal sum construction. Using the results of [18], where each uninorm with continuous underlying operations was characterized by properties of its set of discontinuity points, it is shown that each such a uninorm can be decomposed into an extended ordinal sum of representable uninorms, continuous Archimedean t-norms, continuous Archimedean t-conorms and internal uninorms.

研究动机与目标

• 完整刻画底层t-范数与t-余范连续的平和算子，解决模糊集理论中长期悬而未决的开放问题。
• 将已在t-范数与t-余范中广泛应用的序和构造法，拓展至具有连续分量的平和算子。
• 基于其不连续点的性质，对这类平和算子进行结构分解，延续[18]中的前期工作。
• 在统一的系统化构造框架下，整合具有连续运算的平和算子的表示方法。
• 利用可加生成元与扩展序和分解，建立这些平和算子的完整分类体系。

提出的方法

• 利用扩展序和构造法，根据不连续点定义的区间，将平和算子分解为各组成部分。
• 应用[18]中的结果，通过不连续点集合的性质刻画平和算子，以识别其结构成分。
• 对连续阿基米德t-范数与t-余范使用可加生成元，以表示平和算子的连续部分。
• 根据平和算子在特定区间上的行为，区分可表示平和算子、内部平和算子以及阿基米德t-范数/t-余范组件。
• 使用多值函数r(x)描述平和算子表现出非连续行为的取值范围，从而实现对组件类型的分类。
• 通过单调性与幂等性条件，验证扩展序和在所有输入组合下均与原始平和算子一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过扩展序和构造法，完全刻画具有连续底层t-范数与t-余范的平和算子？
• RQ2 在该类平和算子的分解中，哪些类型组件（如可表示、阿基米德、内部）是必然出现的？
• RQ3 平和算子的不连续点如何影响其向更简单运算的结构分解？
• RQ4 扩展序和构造法在多大程度上将t-范数与t-余范的经典序和表示推广至平和算子框架？
• RQ5 在何种条件下，扩展序和构造法能为具有连续底层运算的平和算子提供唯一表示？

主要发现

• 每个具有连续底层t-范数与t-余范的平和算子，均可唯一地分解为可表示平和算子、连续阿基米德t-范数、连续阿基米德t-余范以及内部平和算子的扩展序和。
• 该分解完全由平和算子的不连续点集合决定，其性质已在先前工作[18]中刻画。
• 当平和算子在多值函数r(x)的取值范围内表现出非连续行为时，可表示平和算子作为组件出现。
• 在平和算子表现如标准t-范数或t-余范的区间内，连续阿基米德t-范数与t-余范作为组件出现。
• 在平和算子为拟内部或严格内部的区域，特别是r(x)具有特定极限行为的区间内，内部平和算子出现。
• 扩展序和构造法通过仔细处理幂等与极限值，确保结果平和算子在所有情况下（包括不连续点）均与原始平和算子一致。