[论文解读] Characterizations and algorithms for generalized Cops and Robbers games

Anthony Bonato, Gary MacGillivray|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文提出了一种广义的Cops and Robbers游戏框架，适用于关系结构，定义了一个统一模型，其中追捕者旨在迫使游戏进入一组固定的终局位置。该文提供了追捕者拥有必胜策略的关联性刻画，并给出了一种时间复杂度为O(n^{2k+2})的算法，用于在n个顶点的图上进行k-警卫游戏，同时还为位置无关游戏提供了基于顶点消除顺序的刻画。

ABSTRACT

We propose a definition of generalized Cops and Robbers games where there are two players, the Pursuer and the Evader, who each move via prescribed rules. If the Pursuer can ensure that the game enters into a fixed set of final positions, then the Pursuer wins; otherwise, the Evader wins. A relational characterization of the games where the Pursuer wins is provided. A precise formula is given for the length of the game, along with an algorithm for computing if the Pursuer has a winning strategy whose complexity is a function of the parameters of the game. For games where the position of one player does not affect the available moves of he other, a vertex elimination ordering characterization, analogous to a cop-win ordering, is given for when the Pursuer has a winning strategy.

研究动机与目标

• 将现有的Cops and Robbers游戏统一并推广为适用于有向图、超图及其他关系结构的单一形式化框架。
• 为广义追捕游戏中追捕者的必胜策略提供关联性刻画。
• 开发一种高效算法，用于判断追捕者是否拥有必胜策略，其时间复杂度依赖于游戏参数。
• 通过在位置无关设置下使用顶点消除顺序，将“警卫必胜排序”概念推广至广义游戏。

提出的方法

• 使用二分图状态有向图D_G定义广义Cops and Robbers游戏，其中状态为对(p_P, q_E)，并以玩家标识符表示轮到谁行动。
• 在D_G上引入标签系统，通过递归反向归纳确定获胜玩家和游戏长度。
• 基于最优玩法下对终局位置的可达性，制定追捕者必胜策略的关联性条件。
• 在乘积图R_G中提出一种顶点消除顺序，其中每个顶点(p_P, q_E)可被移除，若其属于终局集合F，或可通过后续移动强制获胜。
• 设计一种算法，检查是否存在可移除顶点的排序，从而判断追捕者是否拥有必胜策略。
• 分析时间复杂度为O(|P_P|·|P_E|·f_P(|P_P|)·f_E(|P_E|))，其中f_P和f_E分别为各自移动图中的最大出度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，追捕者可保证在关系结构上的广义追捕游戏中实现捕获？
• RQ2 如何利用游戏状态有向图上的关系逻辑，刻画追捕者必胜策略的存在性？
• RQ3 确定广义Cops and Robbers游戏中追捕者是否拥有必胜策略的计算复杂度是多少？
• RQ4 能否将“警卫必胜排序”的概念推广至具有独立移动集的非传统追捕游戏？
• RQ5 在n个顶点的图上，k-警卫游戏中判断必胜策略存在的算法时间复杂度是多少？

主要发现

• 追捕者拥有必胜策略，当且仅当乘积图R_G中存在一个可移除顶点排序，该结果广义化了警卫必胜排序的概念。
• 存在一种多项式时间算法，用于判断必胜策略的存在性，对于n个顶点图上的k-警卫游戏，时间复杂度为O(n^{2k+2})。
• 该算法与已知的k-警卫必胜图识别的复杂度界限一致，证实了其在此上下文下的最优性。
• 必胜策略的关联性刻画广义化了先前对警卫必胜图和k-警卫必胜图的研究结果。
• 对于位置无关游戏，顶点消除顺序提供了与必胜策略存在性等价的结构刻画。
• 该框架可广泛应用于有向图、有序集、超图及其他标准Cops and Robbers之外的关系结构上的游戏。