[论文解读] Characterizations of 1-Way Quantum Finite Automata

Alex Brodsky, Nicholas Pippenger|ArXiv.org|Mar 3, 1999

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文表征了两类单向量子有限自动机（1QFA）：一次测量（MO-QFA）与多次测量（MM-QFA）。研究结果表明，具有有界误差的 MO-QFA 恰好接受群语言，而无限制的 MO-QFA 可解决自由群字问题。MM-QFA 可通过新颖的构造技术以有界误差接受可分测试集，且该类语言在补集、反向同态映射和字商运算下是封闭的。

ABSTRACT

The 2-way quantum finite automaton introduced by Kondacs and Watrous can accept non-regular languages with bounded error in polynomial time. If we restrict the head of the automaton to moving classically and to moving only in one direction, the acceptance power of this 1-way quantum finite automaton is reduced to a proper subset of the regular languages. In this paper we study two different models of 1-way quantum finite automata. The first model, termed measure-once quantum finite automata, was introduced by Moore and Crutchfield, and the second model, termed measure-many quantum finite automata, was introduced by Kondacs and Watrous. We characterize the measure-once model when it is restricted to accepting with bounded error and show that, without that restriction, it can solve the word problem over the free group. We also show that it can be simulated by a probabilistic finite automaton and describe an algorithm that determines if two measure-once automata are equivalent. We prove several closure properties of the classes of languages accepted by measure-many automata, including inverse homomorphisms, and provide a new necessary condition for a language to be accepted by the measure-many model with bounded error. Finally, we show that piecewise testable languages can be accepted with bounded error by a measure-many quantum finite automaton, in the process introducing new construction techniques for quantum automata.

研究动机与目标

• 表征一次测量与多次测量单向量子有限自动机（1QFA）的语言接受能力。
• 确定 MM-QFA 有界误差接受的语言类在补集、反向同态映射和字商运算下的封闭性质。
• 研究部分序条件是否为 MM-QFA 有界误差接受的必要或充分条件。
• 开发用于构建接受复杂语言类（如可分测试集）的 MM-QFA 的新构造技术。
• 建立 MO-QFA 与概率有限自动机（PFAs）之间的等价性与模拟关系。

提出的方法

• 将 MO-QFA 定义为五元组，其转移振幅为酉矩阵，并在计算结束时进行单次测量。
• 通过酉性与振幅演化，将 MO-QFA 在有界误差下的语言接受特性表征为等价于群语言。
• 利用自动机的张量积组合来模拟语言的交集与并集，从而实现布尔组合的构造。
• 应用张量技术组合多个自动机，通过指数缩放控制振幅衰减速率，确保有界误差。
• 通过正振幅通道化技术构造 MM-QFA 以接受部分可分测试集，并利用引理 4.13 实现补集运算。
• 通过同态原像与商构造，证明该类语言在反向同态映射和字商运算下的封闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有界误差的一次测量 QFA 接受的语言类是什么？
• RQ2 无有界误差接受限制的一次测量 QFA 能否解决非正则问题，如自由群字问题？
• RQ3 具有有界误差的多次测量 QFA 所接受的语言类具备哪些封闭性质？
• RQ4 部分序条件是否为 MM-QFA 有界误差接受某语言的充分条件？
• RQ5 能否通过新颖的构造技术，使 MM-QFA 以有界误差接受可分测试集？

主要发现

• 具有有界误差的 MO-QFA 所接受的语言类恰好是群语言类。
• 无限制的 MO-QFA 可解决自由群上的字问题，表明其能接受非正则语言。
• MO-QFA 可被概率有限自动机（PFAs）模拟，且存在算法可判定两个 MO-QFA 是否等价。
• 具有有界误差的 MM-QFA 所接受的语言类在补集、反向同态映射和字商运算下是封闭的。
• 通过涉及振幅通道化与张量组合的新颖构造技术，MM-QFA 可以以有界误差接受可分测试集。
• 部分序条件是 MM-QFA 实现有界误差接受的必要条件；其充分性尚待证明，且与布尔运算下的封闭性密切相关。