[论文解读] Characterizations of almost greedy and partially greedy bases

S. J. Dilworth, Divya Khurana|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Rings, Modules, and Algebras参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过精细化的逼近误差比较和弱阈值贪婪算法，提出了巴拿赫空间中几乎贪婪基与部分贪婪基的新表征。引入了反向部分贪婪基这一新概念，并证明了几乎贪婪基等价于拟贪婪与民主基的组合，而部分贪婪基则由拟贪婪性与保守性特征刻画，通过弱贪婪逼近分析得出了精确常数。

ABSTRACT

We shall present new characterizations of partially greedy and almost greedy bases. A new class of basis (which we call reverse partially greedy basis) arises naturally from these characterizations of partially greedy bases. We also give characterizations for $1$-partially greedy and $1$-reverse partially greedy bases.

研究动机与目标

• 通过精细化误差比较，提供巴拿赫空间中几乎贪婪基与部分贪婪基的新内在表征。
• 引入并研究反向部分贪婪基的新类，作为部分贪婪基表征的自然推论。
• 将已知表征扩展至 $1$-几乎贪婪与 $1$-反向部分贪婪基的情形，并得出精确常数。
• 建立几乎贪婪基与拟贪婪性及民主性组合之间的等价关系，以及部分贪婪基与拟贪婪性及保守性之间的等价关系。
• 分析参数为 $\tau$ 的弱阈值贪婪算法（WTGA），并以最佳逼近与贪婪选择为基础，推导逼近误差的统一界。

提出的方法

• 引入并分析相对于贪婪选择集 $\Lambda_m^\tau(x)$ 的左、右逼近误差 $\sigma_m^L(x)$, $\sigma_m^R(x)$, $\tilde{\sigma}_m^L(x)$, 和 $\tilde{\sigma}_m^R(x)$。
• 使用参数 $\tau \in (0,1)$ 的弱阈值贪婪算法（WTGA），将 $G_m^\tau(x)$ 定义为在系数至少为最大值 $\tau$ 倍的索引上的和。
• 通过参数 $\lambda$ 限制交集大小，建立 $\|x - G_m^\tau(x)\|$ 与 $\|x - \sum_{i\in A} a_i e_i\|$ 之间的统一界，其中 $A$ 与 $\Lambda_m^\tau(x)$ 的重叠受控。
• 证明：若一个基对所有 $x$ 和满足 $|A \cap \Lambda_m^\tau(x)| \leq \lambda m$ 的 $A$ 均满足弱贪婪逼近不等式，则该基为几乎贪婪基。
• 利用基的特征函数 $\phi(n)$，将最大系数的大小与逼近误差关联，借助拟贪婪性与民主性特征。
• 应用三角不等式，并比较 $\|x - G_m(x)\|$ 与 $\|x - G_{2m}(x)\|$，在误差衰减快或慢的两种情形下推导统一界。

实验结果

研究问题

• RQ1 除了已知的拟贪婪与民主性表征外，基为几乎贪婪的充要条件是什么？
• RQ2 如何利用新的误差比较范数与保守性特征，重新表征部分贪婪基的概念？
• RQ3 参数 $\tau$ 的弱阈值贪婪算法（WTGA）在表征几乎贪婪基中起什么作用？
• RQ4 反向部分贪婪基的类能否被形式化定义并表征？它们与部分贪婪基有何关系？
• RQ5 对于 $1$-几乎贪婪与 $1$-反向部分贪婪基，逼近不等式中的精确常数是什么？

主要发现

• 当且仅当一个基是拟贪婪且民主时，它才是几乎贪婪基，且逼近不等式中的精确常数通过弱贪婪逼近分析得出。
• 当且仅当一个基是拟贪婪且保守时，它才是部分贪婪基，从而建立了新的内在表征。
• 本文引入并表征了新类的反向部分贪婪基，其自然源于对部分贪婪基的表征。
• 对任意 $\tau \in (0,1)$，弱阈值贪婪算法满足 $\|x - G_m^\tau(x)\| \leq C \|x - \sum_{i\in A} a_i e_i\|$，对所有满足 $|A \cap \Lambda_m^\tau(x)| \leq \lambda m$ 且 $|A| \leq m$ 的 $A$ 成立，其中常数 $C$ 仅依赖于 $\tau$ 和 $\lambda$。
• 作者证明：若一个 Markushevich 基是几乎贪婪的，则其弱贪婪逼近误差被最佳逼近误差的常数倍统一有界，该常数仅依赖于 $\tau$。