[论文解读] Characterizations of distributions via order statistics with random exponential shifts

Mohammad Ahsanullah, V. B. Nevzorov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2011

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文通过使用独立的指数随机变量对顺序统计量进行随机位移，对连续概率分布进行了表征。通过求解涉及相邻或非相邻顺序统计量与指数位移的随机方程，推导出指数分布、逻辑斯蒂分布及广义逻辑斯蒂分布族的显式分位函数，推广了先前基于顺序统计量与指数变量对指数分布和逻辑斯蒂分布的表征结果。

ABSTRACT

A class of probability distributions is characterized via equalities in law between two order statistics shifted by independent exponential variables. An explicit formula for the quintile function of the identified family of distributions is obtained. The results extend some known characterizations of exponential and logistic distributions.

研究动机与目标

• 推广已知的基于顺序统计量与独立指数位移的指数分布和逻辑斯蒂分布表征结果。
• 识别满足 $ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{r,n} - b\xi_2 $ 的分布族，其中 $ r = k+1 $ 或 $ r = k+2 $，且 $ a,b \geq 0 $，$ (a,b) \neq (0,0) $。
• 在这些分布等式条件下，推导出母体分布的分位函数 $ Q(x) $ 的显式表达式。
• 通过 $ F^\alpha $-方案扩展Zykov和Nevzorov（2010）以及Ahsanullah等人（2010）的先前结果，实现更广泛的分布表征。

提出的方法

• 利用分位函数 $ Q(x) $ 作为主要工具，推导出分布等式 $ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+1,n} - b\xi_2 $ 成立的必要且充分条件。
• 应用累积分布函数的逆函数（即分位函数）将随机等式转化为涉及 $ Q'(x) $ 的微分方程。
• 求解所得微分方程 $ Q'(x) = \frac{a(n-k-1)(n-k)x^2 + bk(k+1)(1-x)^2}{x(1-x)(k+1 + (n-2k-1)x)} $，适用于非相邻顺序统计量。
• 使用 $ F^\alpha $-方案将结果推广至 $ X \stackrel{d}{=} X_{n,n} - a\xi $ 在变换分布下的情形，从而扩展可表征的分布类。
• 运用引理1等式化密度函数，推导出涉及 $ F(x) $、$ F'(x) $ 以及参数 $ a, b, k, n $ 的函数方程。
• 对推导出的 $ Q'(x) $ 表达式进行积分，获得闭式分位函数，包括在顺序统计量非相邻时的加法校正项 $ W(x;k,n) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于相邻顺序统计量，满足 $ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+1,n} - b\xi_2 $ 的分布族是什么，其中 $ a, b \geq 0 $，$ (a,b) \neq (0,0) $ 固定？
• RQ2 在相邻顺序统计量情况下，母体分布的分位函数 $ Q(x) $ 如何依赖于参数 $ a, b, k, n $？
• RQ3 当等式涉及非相邻顺序统计量（如 $ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+2,n} - b\xi_2 $）时，分位函数的形式是什么？
• RQ4 能否使用 $ F^\alpha $-方案推广涉及指数位移与极值顺序统计量的分布表征？
• RQ5 当涉及高阶间距或多个指数位移时，分位函数的结构是怎样的？

主要发现

• 对于相邻顺序统计量 $ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+1,n} - b\xi_2 $，分位函数为 $ Q(x) = \log\left\{ c x^{bk} (1-x)^{-a(n-k)} \right\} $，其中 $ 0 < x < 1 $，$ c > 0 $ 为任意常数。
• 当 $ a = 1/(n-k) $，$ b = 0 $ 时，所得分布为指数分布，其累积分布函数为 $ F(x) = 1 - e^{-(x - c)} $，定义域为 $ x \geq c $。
• 当 $ a = 0 $，$ b = 1 $ 时，分布为左截断指数分布，其累积分布函数为 $ F(x) = \exp(x - c) $，定义域为 $ x \leq c $。
• 当 $ bk = a(n-k) $ 时，分布为逻辑斯蒂分布，其累积分布函数为 $ F(x) = \frac{c_1}{c_1 + \exp(-x)} $，其中 $ c_1 > 0 $。
• 对于非相邻顺序统计量 $ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+2,n} - b\xi_2 $，分位函数包含一个加法校正项 $ W(x;k,n) $，当 $ n = 2k+1 $ 时，该校正项为线性函数。
• 在 $ F^\alpha $-方案下，分位函数变为 $ Q(x) = \log\left\{ c x^{b\alpha} (1-x)^{-(a+b)\alpha - a} \right\} $，将分布族推广至包含累积分布函数的幂变换形式。