[论文解读] Characterizations of Lojasiewicz inequalities and applications

Jérôme Bolte, Aris Daniilidis+2 more|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 32被引用 11

一句话总结

本文在度量空间和希尔伯特空间中，为非光滑和下半连续函数提供了柯尔迪卡-洛贾斯维茨（Kurdyka-Łojasiewicz, KŁ）不等式的新型刻画，将其与度量正则性、次梯度曲线长度以及近似算法的收敛性联系起来。主要贡献在于建立：当且仅当满足KŁ不等式时，分段次梯度曲线具有统一有界的长度，该结果在优化与动力系统中的全局收敛性分析中具有应用价值。

ABSTRACT

The classical Lojasiewicz inequality and its extensions for partial differential equation problems (Simon) and to o-minimal structures (Kurdyka) have a considerable impact on the analysis of gradient-like methods and related problems: minimization methods, complexity theory, asymptotic analysis of dissipative partial differential equations, tame geometry. This paper provides alternative characterizations of this type of inequalities for nonsmooth lower semicontinuous functions defined on a metric or a real Hilbert space. In a metric context, we show that a generalized form of the Lojasiewicz inequality (hereby called the Kurdyka-Lojasiewicz inequality) relates to metric regularity and to the Lipschitz continuity of the sublevel mapping, yielding applications to discrete methods (strong convergence of the proximal algorithm). In a Hilbert setting we further establish that asymptotic properties of the semiflow generated by $-\partial f$ are strongly linked to this inequality. This is done by introducing the notion of a piecewise subgradient curve: such curves have uniformly bounded lengths if and only if the Kurdyka-Lojasiewicz inequality is satisfied. Further characterizations in terms of talweg lines -a concept linked to the location of the less steepest points at the level sets of $f$- and integrability conditions are given. In the convex case these results are significantly reinforced, allowing in particular to establish the asymptotic equivalence of discrete gradient methods and continuous gradient curves. On the other hand, a counterexample of a convex C^2 function in in the plane is constructed to illustrate the fact that, contrary to our intuition, and unless a specific growth condition is satisfied, convex functions may fail to fulfill the Kurdyka-Lojasiewicz inequality.

研究动机与目标

• 将柯尔迪卡-洛贾斯维茨（KŁ）不等式推广并刻画于一般度量空间与希尔伯特空间中的非光滑和下确界连续函数。
• 建立KŁ不等式与度量正则性、次水平映射的利普希茨连续性等基本概念之间的联系。
• 利用分段次梯度曲线的概念，分析由−∂f生成的梯度流的渐近行为。
• 研究在凸情形下KŁ不等式的有效性及其含义，包括在缺乏额外增长条件时其不成立的反例。
• 在凸性与KŁ条件下，严格证明离散梯度方法与连续梯度曲线之间的渐近等价性。

提出的方法

• 在度量空间中，针对下半连续函数引入广义形式的柯尔迪卡-洛贾斯维茨（KŁ）不等式，使用满足φ′ > 0的比较函数φ ∈ K(0, r)。
• 证明KŁ不等式等价于次水平映射的度量正则性，以及映射x ↦ dist(x, {f ≤ r})的局部利普希茨连续性。
• 将分段次梯度曲线定义为几乎处处其导数属于f的次微分的利普希茨曲线，并证明此类曲线具有统一有界长度当且仅当满足KŁ不等式。
• 引入“谷底线”（talweg lines）的概念——即函数等值线上最平缓的点——以提供KŁ不等式的几何刻画。
• 在希尔伯特空间中，推导出KŁ不等式蕴含近似算法收敛性及梯度流渐近收敛性的条件。
• 在ℝ²中构造一个C²凸函数的反例，表明其违反KŁ不等式，证明仅靠凸性不足以保证不等式成立，除非附加增长条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典C¹或解析函数之外的非光滑与无穷维设定下，柯尔迪卡-洛贾斯维茨不等式应如何刻画？
• RQ2 在度量空间中，KŁ不等式与次水平映射的度量正则性或利普希茨连续性之间的确切关系为何？
• RQ3 在何种条件下，分段次梯度曲线具有统一有界的长度？该性质与KŁ不等式有何关联？
• RQ4 凸性在多大程度上能保证KŁ不等式成立？是否存在不满足该不等式的凸函数？
• RQ5 在KŁ条件下，能否严格建立离散梯度方法与连续梯度曲线之间的渐近等价性？

主要发现

• KŁ不等式成立当且仅当次水平映射x ↦ {f ≤ r}是度量正则的且局部利普希茨连续的。
• 分段次梯度曲线具有统一有界长度当且仅当满足KŁ不等式，从而提供了其几何刻画。
• 在希尔伯特空间中，KŁ不等式可保证近似算法的强收敛性，并控制梯度流的渐近行为。
• 对于凸函数，KŁ不等式等价于沿次梯度曲线对梯度范数倒数的可积性。
• 构造了一个在ℝ²中的C²凸函数，其违反KŁ不等式，表明仅靠凸性不足以保证不等式成立，除非附加增长条件。
• 在KŁ不等式与凸性条件下，离散梯度方法与连续梯度曲线渐近等价，从而建立了离散与连续动力系统之间的联系。