[论文解读] Characterizations of minimal dominating sets and the well-dominated property in lexicographic product graphs

Didem Gözüpek, Ademir Hujdurović+1 more|Repository of the University of Primorsk (University of Primorska)|Jan 20, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本文引入了不可约支配集的概念——这是最小支配集和最小全支配集的推广——并利用它来刻画非平凡字典积图中的最小支配集。主要贡献是完整刻画了良好支配的字典积图，以及针对支配数有界的良好支配图的多项式时间识别算法，从而解决了该类中一个开放问题。

ABSTRACT

A graph is said to be well-dominated if all its minimal dominating sets are of the same size. The class of well-dominated graphs forms a subclass of the well studied class of well-covered graphs. While the recognition problem for the class of well-covered graphs is known to be co-NP-complete, the recognition complexity of well-dominated graphs is open. In this paper we introduce the notion of an irreducible dominating set, a variant of dominating set generalizing both minimal dominating sets and minimal total dominating sets. Based on this notion, we characterize the family of minimal dominating sets in a lexicographic product of two graphs and derive a characterization of the well-dominated lexicographic product graphs. As a side result motivated by this study, we give a polynomially testable characterization of well-dominated graphs with domination number two, and show, more generally, that well-dominated graphs can be recognized in polynomial time in any class of graphs with bounded domination number. Our results include a characterization of dominating sets in lexicographic product graphs, which generalizes the expression for the domination number of such graphs following from works of Zhang et al. (2011) and of Šumenjak et al. (2012).

研究动机与目标

• 开发一个统一框架，用于刻画字典积图中最小支配集的结构。
• 解决在支配数有界的图类中识别良好支配图的开放问题。
• 通过引入一种新的结构概念——不可约支配集，扩展字典积图中支配理论的现有结果。
• 给出良好支配的非平凡字典积图的完整刻画。
• 探索良好支配图与超图横切问题之间的联系，以支持算法识别。

提出的方法

• 引入不可约支配集的概念，该概念同时推广了最小支配集和最小全支配集。
• 利用不可约支配集刻画非平凡字典积图中所有最小支配集的结构。
• 建立字典积图中最小支配集与由因子导出的Sperner超图的最小横切集之间的对应关系。
• 利用Eiter和Gottlob（1995）证明的结论：当超边大小有界时，超图横切问题可在多项式时间内求解。
• 基于此，证明对于任意固定的k，支配数为k的良好支配图可在多项式时间内识别。
• 将该框架应用于推导出良好支配字典积图的完整刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 非平凡字典积图中最小支配集的结构是什么？
• RQ2 不可约支配集的概念能否用于刻画良好支配的字典积图？
• RQ3 在支配数有界的图类中，良好支配图的识别问题是否为多项式时间可解？
• RQ4 不可约支配集与最小支配集及最小全支配集之间有何关系？
• RQ5 类似的技术能否用于刻画良好全支配图（即所有最小全支配集大小相同）？

主要发现

• 本文通过不可约支配集的概念，对良好支配的非平凡字典积图给出了完整刻画。
• 证明了对于任意固定的k，支配数为k的良好支配图可在多项式时间内识别，从而解决了该类中的一个开放问题。
• 由于与超图横切问题的联系，良好支配图在任何支配数有界的图类中均可多项式时间识别。
• 基于其最小横切集的结构，给出了支配数为2的良好支配图的可多项式测试的刻画。
• 该框架推广了关于字典积图支配数的已知结果，扩展了Zhang等人（2011）和Šumenjak等人（2012）的早期工作。
• 研究表明，不可约支配集是最小支配集与最小全支配集的共同推广，暗示其在支配理论中具有更广泛的应用潜力。