[论文解读] Characterizations of smooth spaces by $ ho_*$-orthogonality

Mohammad Sal Moslehian, Ali Zamani+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了实赋范空间中的 $\rho_*^*$-正交性，证明了保持该正交性的线性算子满足范数界 $\frac{1}{3}\|T\|\|x\| \leq \|Tx\| \leq 3[T]\|x\|$ 对所有 $x \in X$ 成立，其中 $[T] = \inf_{\|x\|=1} \|Tx\|$。此外，本文还建立了 $(X, \perp_{\rho_*})$ 在 Rätz 意义下构成一个正交性空间，并通过 $\rho_*$-正交性对光滑赋范空间进行了表征。

ABSTRACT

The aim of this paper is to present some results concerning the $\ ho_*$-orthogonality in real normed spaces and its preservation by linear operators. Among other things, we prove that if $T\\,: X \\longrightarrow Y$ is a nonzero linear $(I, \ ho_*)$-orthogonality preserving mapping between real normed spaces, then $$\\frac{1}{3}\\|T\\|\\|x\\|\\leq\\|Tx\\|\\leq 3[T]\\|x\\|, \\qquad (x\\in X)$$ where $[T]:=\\inf\\{\\|Tx\\|: \\,x\\in X, \\|x\\|=1\\}$. We also show that the pair $(X,\\perp_{\ ho_*})$ is an orthogonality space in the sense of R\\"{a}tz. Some characterizations of smooth spaces are given based on the $\ ho_*$-orthogonality.

研究动机与目标

• 研究实赋范空间中 $\rho_*^*$-正交性的性质。
• 研究保持 $\rho_*^*$-正交性的线性算子的行为。
• 建立通过 $\rho_*^*$-正交性表征赋范空间为光滑空间的条件。
• 证明 $(X, \perp_{\rho_*})$ 满足 Rätz 意义下的正交性空间公理。
• 推导与 $\rho_*^*$-正交性相关的泛函方程及稳定性结果。

提出的方法

• 通过左、右范数导数的乘积定义 $\rho_*^*$-正交性：$x \perp_{\rho_*} y \Leftrightarrow \rho_-(x,y)\rho_+(x,y) = 0$。
• 利用范数导数映射 $\rho_\pm(x,y) = \|x\| \lim_{t \to 0^\pm} \frac{\|x+ty\| - \|x\|}{t}$ 来刻画正交性。
• 应用中值定理，在任意二维子空间中构造满足 $x \perp_{\rho_*} y$ 和 $x+y \perp_{\rho_*} \lambda x - y$ 的向量。
• 证明 $\rho_*^*$-正交性蕴含 Rätz 正交性空间公理，确保与抽象正交性理论的一致性。
• 推导泛函方程表征：当且仅当 $f(x) = A(x) + B(x,x)$ 且 $B(x,y)=0$ 对所有 $x \perp_{\rho_*} y$ 成立时，有 $f(x+y) = f(x)+f(y)$ 对所有 $x \perp_{\rho_*} y$ 成立。
• 建立 Hyers-Ulam 型稳定性结果：若对所有 $x \perp_{\rho_*} y$ 有 $\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leq \varepsilon$，则 $f$ 在 $\frac{68}{3}\varepsilon$ 范围内一致接近于一个加法-二次映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赋范空间中，$\rho_*^*$-正交性如何与 Birkhoff–James、等腰及半内积正交性等其他正交类型相关联？
• RQ2 对于保持 $\rho_*^*$-正交性的线性算子，可在实赋范空间之间建立怎样的范数界？
• RQ3 在何种条件下，通过 $\rho_*^*$-正交性表征的赋范空间是光滑的？
• RQ4 $(X, \perp_{\rho_*})$ 是否满足 Rätz 意义下的正交性空间公理？
• RQ5 涉及 $\rho_*^*$-正交性的泛函方程能否分解为加法与二次部分？

主要发现

• 对任意非零线性 $(I, \rho_*)$-正交性保持映射 $T: X \to Y$，其范数满足对所有 $x \in X$ 有 $\frac{1}{3}\|T\|\|x\| \leq \|Tx\| \leq 3[T]\|x\|$，其中 $[T] = \inf_{\|x\|=1} \|Tx\|$。
• $(X, \perp_{\rho_*})$ 是 Rätz 意义下的正交性空间，满足此类结构所要求的公理。
• 在 $X$ 的任意二维子空间 $P$ 中，对每个 $x \in P$ 和 $\lambda \geq 0$，存在 $y \in P$ 使得 $x \perp_{\rho_*} y$ 且 $x+y \perp_{\rho_*} \lambda x - y$。
• 若映射 $f: X \to G$（$G$ 为阿贝尔群）满足对所有 $x \perp_{\rho_*} y$ 有 $f(x+y) = f(x)+f(y)$，当且仅当 $f(x) = A(x) + B(x,x)$，其中 $A$ 为加法映射，$B$ 为双加法且对称，且当 $x \perp_{\rho_*} y$ 时 $B(x,y)=0$。
• 若映射 $f: X \to Y$（$Y$ 为实巴拿赫空间）满足对所有 $x \perp_{\rho_*} y$ 有 $\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leq \varepsilon$，则 $f$ 在 $\frac{68}{3}\varepsilon$ 范围内一致接近于一个加法-二次映射 $A(x) + Q(x)$。