[论文解读] Characterizations of uniformly differentiable co-horizontal intrinsic graphs in Carnot groups

Gioacchino Antonelli, Daniela Di Donato+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 33被引用 6

一句话总结

本论文通过将内在可微性与左不变向量场投影下的图的 Hölder 正则性相联系，建立了在 Carnot 群中一致内在可微（UID）共横截内在图的刻画。关键贡献在于：在步长为 2 的 Carnot 群中，UID 正则性与内在导数的广义* Hölder 正则性之间存在完全等价关系，且为实值 UID 映射给出了显式面积公式。

ABSTRACT

In arbitrary Carnot groups we study intrinsic graphs of maps with horizontal target. These graphs are $C^1_H$ regular exactly when the map is uniformly intrinsically differentiable. Our first main result characterizes the uniformly intrinsic differentiability by means of Hölder properties along the projections of left-invariant vector fields on the graph. We strengthen the result in step-2 Carnot groups for intrinsic real-valued maps by only requiring horizontal regularity. We remark that such a refinement is not possible already in the easiest step-3 group. As a by-product of independent interest, in every Carnot group we prove an area-formula for uniformly intrinsically differentiable real-valued maps. We also explicitly write the area element in terms of the intrinsic derivatives of the map.

研究动机与目标

• 通过内在向量场上的 Hölder 型正则性，刻画任意 Carnot 群中一致内在可微（UID）内在图的性质。
• 通过证明在步长为 2 的 Carnot 群中，内在导数的水平正则性蕴含 UID 正则性，从而完善内在 $ C^1_{\rm H} $ 曲面的正则性理论。
• 在任意 Carnot 群中，为一致内在可微的实值映射建立一般面积公式，显式地以内在导数表达面积元素。
• 证明在更高阶 Carnot 群中，无法将广义* 正则性细化为小 Hölder 正则性，凸显结构上的限制。

提出的方法

• 引入内在投影向量场 $ D^\varphi $，其源自水平子群上的左不变向量场，用于分析内在图的正则性。
• 将广义* 解定义为一种推广的正则性概念，以捕捉内在导数在分布意义下的行为。
• 使用小 Hölder 连续性（$ h^\alpha $）来刻画映射 $ \varphi $ 沿 $ D^\varphi $ 的积分曲线的正则性，从而将其与 UID 正则性联系起来。
• 通过将余维一内在图的面积公式应用于，以内在微分 $ \mathrm{d}^\varphi\varphi $ 表达 Hausdorff 测度，从而得到显式面积元素。
• 通过坐标识别将问题约化至步长为 2 的自由 Carnot 群，以证明步长为 2 情况下的主要等价关系。
• 建立 UID 正则性与存在连续映射 $ \omega \in C(U;\mathbb{R}^{m-1}) $ 之间的等价性，使得 $ D^\varphi\varphi = \omega $ 在广义* 意义下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意 Carnot 群中，什么特征刻画了一致内在可微的内在图？
• RQ2 内在图的正则性是否可仅通过左不变向量场投影下映射的 Hölder 正则性来刻画？
• RQ3 在步长为 2 的 Carnot 群中，内在导数的水平正则性是否蕴含一致内在可微性？
• RQ4 在更高阶 Carnot 群中，是否可将 UID 映射刻画中的广义* 正则性替换为小 Hölder 正则性？
• RQ5 在一般 Carnot 群中，一致内在可微实值映射的面积公式具有何种显式形式？

主要发现

• 在任意 Carnot 群中，映射 $ \varphi $ 一致内在可微当且仅当其沿 $ D^\varphi $ 的积分曲线的限制是小 Hölder 连续的。
• 在水平目标为一维的步长为 2 的 Carnot 群中，UID 正则性等价于存在连续映射 $ \omega \in C(U;\mathbb{R}^{m-1}) $，使得 $ D^\varphi\varphi = \omega $ 在广义* 意义下成立。
• 余维一 UID 内在图的面积公式将图的 $ \mathscr{S}^n $-测度表达为内在导数 $ \mathrm{d}^\varphi\varphi $ 的函数，其面积元素显式包含内在微分的雅可比行列式。
• 在步长为 2 的群中，从广义* 到小 Hölder 正则性的细化是最优的：在最简单的步长为 3 的 Carnot 群中，此类细化不成立，表明结果是紧致的。
• 在任意 Carnot 群中，实值映射的面积公式成立，其面积元素为 $ \sqrt{1 + \sum_{j=1}^{m-k} |\nabla^\varphi_j \varphi|^2} $，其中 $ \nabla^\varphi_j \varphi $ 为内在偏导数。
• 在步长为 2 的群中，UID 与广义* 解之间的等价性通过约化至自由 Carnot 群得以建立，利用李代数结构与指数坐标。