[论文解读] Characterizations of unimodular finite tensor categories

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通过分析从范畴的中心到范畴本身的遗忘函子，建立了有限张量范畴的单模性的多种等价刻画。证明了单模性等价于遗忘函子为弗罗贝尼乌斯函子，也等价于左、右伴随函子保持对偶性，或将单位对象映射为自对偶对象，从而推广了环柄体链的不变量。

ABSTRACT

Let $\mathcal{C}$ be a finite tensor category, let $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ denote its center, and let $L$ and $R$ be a left and a right adjoint functor of the forgetful functor $U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) o \mathcal{C}$. We show that the following assertions are equivalent: (i) $\mathcal{C}$ is unimodular, (ii) $U$ is a Frobenius functor, (iii) $L$ preserves duality, (iv) $L(1)$ is self-dual, (v) $R$ preserves duality, and (vi) $R(1)$ is self-dual, where $1 \in \mathcal{C}$ is the unit object. Some other equivalent assertions are also given. As an application, we generalize Ishii and Masuoka's construction of an invariant of handlebody-links to unimodular finite tensor categories.

研究动机与目标

• 识别并统一有限张量范畴为单模性的多个等价条件。
• 阐明从范畴的中心到范畴本身的遗忘函子在判定单模性中的作用。
• 将伊集与増岡的环柄体链不变量构造方法推广至单模有限张量范畴的更广泛设定。
• 通过遗忘函子的左、右伴随函子的性质刻画单模性。

提出的方法

• 分析遗忘函子 $ U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $ 及其左、右伴随函子 $ L $ 与 $ R $。
• 建立单模性与 $ U $ 为弗罗贝尼乌斯函子之间的等价性。
• 证明 $ L $ 保持对偶性当且仅当 $ \mathcal{C} $ 是单模的。
• 证明 $ L(1) $ 是自对偶的当且仅当 $ \mathcal{C} $ 是单模的，其中 $ 1 $ 是 $ \mathcal{C} $ 中的单位对象。
• 证明 $ R $ 保持对偶性当且仅当 $ \mathcal{C} $ 是单模的。
• 利用这些等价关系，将伊集与増岡在模范畴中构造的环柄体链不变量推广至单模有限张量范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限张量范畴 $ \mathcal{C} $ 的哪些条件与单模性等价？
• RQ2 在单模范畴的背景下，遗忘函子 $ U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $ 与弗罗贝尼乌斯函子有何关系？
• RQ3 遗忘函子 $ U $ 的左、右伴随函子 $ L $ 与 $ R $ 如何反映 $ \mathcal{C} $ 的单模性？
• RQ4 伊集与増岡构造的环柄体链不变量能否超越模范畴进行推广？
• RQ5 在与单模性相关联的背景下，$ L(1) $ 与 $ R(1) $ 为自对偶具有何种意义？

主要发现

• 范畴 $ \mathcal{C} $ 的单模性等价于遗忘函子 $ U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $ 为弗罗贝尼乌斯函子。
• 左伴随函子 $ L $ 保持对偶性当且仅当 $ \mathcal{C} $ 是单模的。
• $ L(1) $ 是自对偶的当且仅当 $ \mathcal{C} $ 是单模的，其中 $ 1 $ 是 $ \mathcal{C} $ 中的单位对象。
• 右伴随函子 $ R $ 保持对偶性当且仅当 $ \mathcal{C} $ 是单模的。
• $ R(1) $ 是自对偶的当且仅当 $ \mathcal{C} $ 是单模的。
• 伊集与増岡在模范畴中构造环柄体链不变量的方法被推广至单模有限张量范畴。