[论文解读] Characterizing extremal coefficient functions and extremal correlation functions

Kirstin Strokorb, Martin Schlather|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文利用完全交错性概念，对极值系数函数和极值相关函数在极稳态随机场中的性质进行了完整刻画。研究建立了这些函数的必要与充分条件，证明了在连续性条件下其在凸组合、乘积和逐点极限下的封闭性，并推导了ℝᵈ上平稳场的结构性结果，包括依赖函数类之间的真包含关系。

ABSTRACT

We focus on two dependency quantities of a max-stable random field $X$ on some space $T$: the extremal coefficient function $θ$ which we define on finite sets of $T$ and the extremal correlation function $χ(s,t)=\lim_{x \uparrow \infty} \PP(X_s \geq x \mid X_t \geq x)$. We fully characterize extremal coefficient functions $θ$ by a property called complete alternation and construct a corresponding max-stable random field. Simple properties and consequences concerning the convex geometry of extremal coefficients are derived. We study how the continuity of $X$, $θ$ and $χ$ are linked to each other, and we show that extremal correlation functions $χ$ allow for convex combinations in general, and for products and pointwise limits if the resulting function is continuous. These are operations which are well-known for positive definite functions, but the latter are non-trivial for extremal correlation functions. Finally, we regard some additional implications, when the random field $X$ on $T=\mathbb{R}^d$ is stationary.

研究动机与目标

• 通过完全交错性性质，对极稳态随机场的极值系数函数进行完整刻画。
• 建立极值相关函数的必要与充分条件，并证明其在连续性条件下对凸组合、乘积和逐点极限的封闭性。
• 探讨随机场连续性、其极值系数函数与极值相关函数之间的相互关系。
• 推导ℝᵈ上平稳极稳态随机场的结构性结果，包括依赖函数类之间的真包含关系。
• 将已知的尾部相依性和极值图类似函数的结果推广至更广泛的时空极值相依度量类。

提出的方法

• 本文在空间索引集T的有限子集上定义极值系数函数θ，并通过完全交错性这一性质对其进行刻画，证明该性质是存在对应极稳态场的必要且充分条件。
• 通过基于符号测度的谱表示，从一个完全交错的极值系数函数显式构造出极稳态随机场。
• 研究极值系数的凸几何性质，并将其与正定函数关联，识别出在连续性条件下对凸组合和乘积的封闭性。
• 对于ℝᵈ上的平稳场，推导出涉及平移不变性的θ和χ的条件，并利用泊松点过程构造出具有紧支撑极值相关函数的实例。
• 证明对于任意伯恩斯坦函数g，函数η = 1 − χ满足三角不等式，即g∘η(s±t) ≤ g∘η(s) + g∘η(t)，从而推广了文献中的已知结果。
• 利用正定函数与谱测度理论，比较不同模型（包括二项式与极稳态场）所产生的极值相关函数类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般索引空间T上，一个函数成为极稳态随机场的极值系数函数的必要与充分条件是什么？
• RQ2 哪些运算能保持极值相关函数类的性质？在何种条件下，该类在凸组合、乘积和逐点极限下是封闭的？
• RQ3 极稳态随机场的连续性、其极值系数函数与极值相关函数之间存在何种相互关系？
• RQ4 ℝᵈ上平稳极稳态随机场的极值相关函数与更简单模型（如二项式场）的极值相关函数在结构性上存在哪些差异？
• RQ5 在平稳极稳态随机场中，是否存在具有紧支撑的极值相关函数？其与简单模型中的函数相比有何异同？

主要发现

• 一个函数θ是极稳态随机场的极值系数函数，当且仅当它是完全交错的，从而在空间设定下实现了完整刻画。
• 极值相关函数χ在凸组合下封闭，且在连续性条件下也对逐点极限和乘积封闭，扩展了正定函数已知的性质。
• 对于ℝᵈ上的平稳极稳态随机场，极值系数函数θ必须满足平移不变性与完全交错性，且满足θ({t}) = 1和θ(∅) = 0。
• 由平稳二项式场产生的极值相关函数集合是平稳极稳态场中极值相关函数集合的真子集，表明后者具有更丰富的依赖结构。
• 在平稳极稳态随机场中，存在具有紧支撑的极值相关函数，该结论通过使用包含紧集A ⊂ ℝᵈ的强度测度的泊松点过程构造得以证明。
• 函数η = 1 − χ对任意伯恩斯坦函数g满足广义三角不等式，即g∘η(s±t) ≤ g∘η(s) + g∘η(t)，这意味着除非χ为常数，否则其在原点不可微。